Desafío - Sistema de Ecuaciones (Resuelto)

Respuesta:

Sumemos a la primera -3 veces la segunda:
3x+2y=25
-3x+15y=9

17y=34
y = 34/17=2

reeemplazamos en la priemra:
3x + 2(2)=25
3x = 25 - 4
3x = 21
x= 21/3=7

La respuesta es el par: (7,2)

Luego el producto xy = 14;
Alternativa B)

Fuente: Editorial Universitaria-DEMRE
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Sistemas de Ecuaciones de 2x2.

Desafío - Problema de Planteamiento (Resuelto)

Sofía compra en una librería 3 lápices iguales y dos gomas en $ 1.550. Si hubiese comprado 2 lápices y una goma le habría costado $ 950. ¿Cuánto vale cada lápiz?

A) $ 230 ; B) $ 250 ; C) $ 300 ; D) $ 350 ; E) $ 450

Respuesta:

Sea L lo que vale cada lapiz, sea G lo que vale cada goma:

i) 3L + 2G = 1.550
ii) 2L + G = 950

De ii) despejo G: G = 950 - 2L

Pongo en i)

3L + 2(950-2L)=1.550
3L + 1.900 - 4L = 1.550
1.900 - 1550 = 4L - 3L
L = 350

Alternativa D)

Fuente: Libro de 2do. Eduardo Cid F.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Sistemas de Ecuaciones de 2x2

Desafío - DEMRE Admisión 2013 - 70

70. 


Dos kilogramos de manzanas más un kilogramo de peras cuestan $ 1.000. Se puede determinar el precio de un kilogramo de manzanas, si se conoce:


(1) 
La razón entre el precio de un kilogramo de manzanas y un kilogramo de peras.
(2) 
El precio de una manzana.


A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional



Respuesta:


Con sólo (1) el sistema está determinado completamente pues tendríamos 2 ecuaciones:
Si llamamos M al precio del Kg de manzanas y llamamos P al kg de peras, tendríamos:


(a) 2M + P = 1.000
(b) M/P = Dato CONOCIDO


Estamos OK.


Alternativa A), nos basta (1) por si sóla ....


Nota: de nada nos sirve saberf el precio de una manzana si no sabemos cuanto pesa! 

Fuente: DEMRE
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - DEMRE Admisión 2013 - 27

27.

En el sistema

¿Qué valores debe tener m y n, respectivamente,
para que la solución del sistema sea: x = - 1 e y = 3?

A) -4 y 1
B) 4 y 1
C) 4 y -1
D) -4 y -1
E) -2 y -23

Respuesta:

Si la solución del sistema es x= -1 ; y = 3 
{ lo que es lo mismo: la solución al sistema es ( -1, 3) }
al reemplazar este par de coordenadas, en cada ecuación, las coordenadas deben satisfacer la ecuación, veamos:


en la primera ecuación:
3( -1) - m(3) = 9
-3 - 3m = 9
-3 - 9 = 3m
3m = -12
m = -12/3
m = - 4


en la segunda ecuación:
n( -1) + 4(3) = 11
-n + 12 = 11
-n = 11 - 12
- n = -1 (Multiplicamos por -1)
n = 1


La A) la lleva !!!!!

Fuente: DEMRE.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistemas de Ecuaciones

Desafío - DEMRE Admisión 2013 - 26

La suma de dos números es 180 y están en la razón 7:5. 
¿Cuál es el número menor?

A) 105

B) 67,5

C) 75

D) 51,4

E) Ninguno de los valores anteriores.

Respuesta:

Sea m el menor de ellos.

Sea M el mayor de ellos.

(i) M + n = 180.
(ii) M/m = 7/5.

de (ii) M = (7/5)m

reemplazando en (i)

(7/5)m + m = 180

multiplico por 5

7m + 5m = 900

12m = 900

m = 75

Dada la pregunta, NO es necesario calcular M.

Alternativa C)

Fuente: DEMRE

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Suficiencia de Información

Respuesta:


Sean "I" y "F" las edades actuales de Ignacio y Francisca respectivamente.


de (1) F= I/3 + 7


de (2) I = 3F - 21


Pero trabajemos en la ecuación (1): multipliquemos por 3:


3F = I + 21, y despejando "I" : I = 3F - 21, lo que nos lleva a (2).


Las ecuaciones (1) y (2) son la misma .... No tenemos un sistema de 2x2 .... 


Alternativa E), se requiere más información, otra ecuación que no sea la misma .....

Fuente: Material PreU. P.de Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

En un circo, la entrada de 3 adultos y un niño es $ 5.000 y si ingresan 2 adultos y 4 niños también pagan $ 5.000. Si ingresa un adulto cancelando con un billete de $ 5.000, ¿Cuánto vuelto recibiría?

A) $ 1,500 ; B) 2.500 ; C) 3.200 ; D) 3.500 ; E) 4.500.


Respuesta:


Llamemos A al precio de las entradas de los Adultos.
Llamemos M al precio de las entradas de los Menores.


Esto nos posibilita lograr dos ecuaciones, en dos incógnitas:


i) 3A + M = 5.000
ii) 2A + 4M = 5.000


Eliminamos "M", porque queremos saber el pedio de un adulto, para poder contestar la pregunta.


Multiplicamnos por (-4) la primera ecuación:


-12A - 4M = -20.000
2A + 4M = 5.000
-10A = -15.000


Luego el precio de la entrada de un adulto es de $ 1.500. 


Si un adulto paga con $ 5.000, el vuelto es de 3.500 pesos.


Alternativa D)


Fuente: Texto 2do. Medio - Eduardo Cid Figueroa.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Problema de Planteo

En una verdulería, don Pepe ha comprado 2 Kg de tomates y 1 kg de papas en $ 1.220 y doña Flora ha comprado 3 Kg de tomates y 2 Kg de papas en $ 2.020. ¿Cuánto vale cada Kg. De papas?

A) $ 240 ; B) $ 340 ; C) $ 380 ; D) $ 420 ; E) $ 440.


Respuesta:


Llamemos T al precio de 1 kilo de Tomates
Llamemos P al precio de 1 kilo de Papas


i) 2T + 1P = 1.220


ii) 3T + 2P = 2.020


Queremos obtener "P", entonces por reducción, eliminemos la variable "T", multiplicando la primera ecuación por (3) y la segunda por (-2)


i) 6T + 3P = 3.660


ii) -6T - 4P = -4.040


Sumamos ambas ecuaciones:


i) + ii) : - P = - 380, Luego el Kg de papas vale: $ 380.


Alternativa C)


Fuente: Texto 2do. Medio E.Cid.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistema de Ecuaciones Lineales con 2 incógnitas.

Desafío - Sistema de Ecuaciones.

(i) x - y = 7
(ii) 3x + y = 25

¿ Cuál de los siguientes puntos representa la solución del anterior sistema ?

A) P(1,8)
B) P(8,1)
C) P(9,2)
D) P(-1,8)
E) P(8,-1)

Respuesta: Sumemos ambas ecuaciones para despejar la incógnita "x", pues se eliminan las "y":


x + 3x  - y + y = 32
4x = 32
x = 32/4 = 8


En la segunda ecuación:


x - y = 7
8 - y = 7
8 - 7 = y
1 = y


La respuesta es el par ordenado (x,y) = (8,1) : alternativa B)


Fuente: Clave PSU - SM
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Si (a,b) es la solución del siguiente sistema, 
entonces  ¿ cuánto vales a-b ?

Respuesta:


Sumamos ambas Ecuaciones (Método de Reducción) para eliminar la "y"


2x + x + y - y = 7 + 8
3x = 15
x = 15/3
x=5


Luego, poniendo este valor en la segunda ecuación:


x + y = 8
5 + y = 8
y = 8 - 5
y = 3


(a,b) = (5,3)
(a-b) = 5-3 = 2


Alternativa C)


Fuente: PSU P. Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Suficiencia de la Información.

En un grupo de 40 mujeres donde sólo hay viudas y casadas, 
se puede determinar el número de mujeres viudas si:


(1) La razón entre las casadas y las viudas es 5:3
(2) Las casadas son 25.


A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.

Respuesta: Cada una por si sola. Alternativa D)


Veamos,


Llamemos V a las viudas. Llamemos C a las casadas.


Del enunciado: V + C = 40


con (1) tenemos el sistema de 2x2:


(a) V + C = 40 (del enunciado)
(b) C/V=5/3


con (2) tenemos el sistema de 2x2:


(a) V + C = 40 (del enunciado)
(b) C = 25


Luego, con cada una de las expresiones (1) y (2) se puede si lo asociamos al enunciado.

Fuente: DEMRE
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Sistema

De acuerdo al anterior sistema, el valor de 2x - 4y es = ?


A) -2 ; B) 0 ; C) 2 ; D) 8 ; E) 12


Respuesta: La primera ecuación nos da directamente X para sustituirla en la segunda:


(y+2)+y=8
2y + 2 = 8
2y = 8-2
2y = 6
y=3


Luego en la primera ecuación: 
x= y+2; x=3+2 = 5


2x - 4y = 2(5) - 4(3) = 10 - 12 = -2 ; Alternativa A)


Fuente: Faccímil PreU. UNAB
NEM:
Eje Temático: 
CMO:

Desafío - Rectas

Respuesta:

Tenemos 2 Ecuaciones:

(i) y = 4x - 1
(ii) y = 5 - x/2

Usando el método de IGUALACION, igualamos las "y" de ambas ecuaciones,
que ya están despejadas:

4x - 1 = 5 - x/2 /(Multiplicamos por 2)
8x - 2 = 10 - x
8x + x = 10 + 2
9x = 12
x= 12/9 /(dividimos por 3)
x=4/3

Reemplazamos este valor de "x" en la primera de las ecuaciones:
y = 4(4/3) - 1 = 16/3 - 1 = (16-3)/3 = 13/3

El par ordenado es: (x,y) = (4/3 , 13/3) ; Alternativa A)

Fuente: Faccimil PreU. PREUNAB
NEM:  Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Geometría Analítica. Punto de Corte de 2 Rectas.

Desafío - Intersección de Rectas

Sean las rectas
L1 : 2x - y - 5 = 0
L2 : 4x + y - 7 = 0
Si P es el punto en que se intersectan L1 y L2, entonces las coordenadas de P son:

A) (2,1)
B) (2,-1)
C) (-2,1)
D) (-2,-1)
E) (1/2,-1)

Respuesta: La intersección corresponde a la solución del sistema de ecuaciones:

Sumando L1 y L2 eliminamos las "y" (Método de Reducción)

2x + 4x + y - y -5 - 7 = 0
6x -12 = 0
6x = 12
x= 12/6 = 2

x = 2

Reemmplazando en L1:

2(2) - y - 5 = 0
4 - y - 5 = 0
4 - 5 = y
-1 = y

Punto de intersección = (2,-1) ; Alternativa B)

Fuente: MareNostrum/P.Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente: Faccímil Editorial Universitaria
NEM: 2do Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Sistema Ecuaciones

Entonces el valor de (x+y) es:

A) -12 ; B) 8 ; C) 20 ; D) 21 ; E) 24

Respuesta: Trabajando la Ecuación i), tenemos que "y a la menos 1" pasa del denominador la numerador, invirtiendo el signo de su exponente. De la misma forma "x a la menos 1" pasa del numerador al denominador, invirtiendo su exponente, que queda "+1" y que por tanto no se anota ....

i) se tranforma a: y/x = 3/2
entonces, multiplicando cruzado: 2y = 3x, de donde y=(3/2)x

reemplazamos en ii)

(17-x)/(3x/2) = 3/4
17 - x = (3/2)(3/4)x
17 - x = 9x/8
17 = 9x/8 + x
17 = (9x+8x)/8
17 = 17x/8
8 = x

Luego, reemplazando esta verdad en i) y = (3/2)8 = 12

Luego (x+y) = 8 + 12 = 20

Alternativa C)

Fuente: Faccímil PSU Editorial Universitaria.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Si se dan las anteriores relaciones, entonces a+b = ?

A) 7/3 ; B) 6/5 , C) 5 ; D) 3 ; E) 5/6

Respuesta:

Fuente: PSU - 2do. Medio - MareNostrum/P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

La suma de dos números es 64 y su diferencia es 16. ¿ Cuáles es el producto de esos números ?

A) 690

B) 960

C) 96

D) 69

E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta: Sean "x" e "y" esos números con x mayor que y.

x + y = 64

x - y = 16

Simamos ambas ecuaciones:

2x = 80

x = 40, luego y = 24

xy = (40)(24) = 960 ; Alternativa B)

Fuente: Álgebra de Francisco Proschle - Variación Personal.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

El cuociente entre la mayor de la coordenadas y la menor, de la solución del sistema de ecuaciones anterior es:

A) 7/6

B) 7/1

C) 6/1

D) 6/7

E) NA

Respuesta: OJO que de plano sin resolver nada: NO puede ser la alternativa D) ... porque este cuciente es entre un número menor (en el numerador) y otro mayor (en el denominador) y eso contradice al enunciado ....

Sumamos la primera ecuación más 3 veces la segunda:

4x - 3y = 3

15x + 3y = 111

19x = 114, entonces x = 6,

4(6) -3y = 3

24 - 3 = 3y

21 = 3y

y=7

El cuociente entre la mayor y la menor de las coordenadas es 7/6 ; Alternativa A)

Fuente: Algebra de Francisco Proschle - Variación personal.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álegbra y Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío 31 - DEMRE 2012

Respuesta: Como corresponde hacer, vamos a revisar acusiosamente las tres propuestas I), II) y III).

I) Si a=b=1, las dos ecuaciones se transforman:

(i) x + y = 1

(ii) x + y = 1

Es decir, ambas ecuaciones son iguales, representan dos veces a la misma recta, es decir, las soluciones son infinitas. por tanto: I) es FALSA.

II) Si a = -1, b = 1, las ecuaciones se transforman a:

(i) x + y = 1

(ii) x - y = 1

Aquí, usando reducción (sumando ambas ecuaciones) emerge la respuesta:

2x = 2

x=1

Luego, reemplazando en (i) o (ii), y=0. La respuesta es: (1,0) ; La alternativa es FALSA.

III) a=1 ; b=-1 ; Las ecuaciones se transforman en:

(i) x + y = 1

(ii) x + y = -1

Estas son dos rectas de igual pendiente, que tienen distinto Y-Intercepto. Por tanto NO se cortan, es decir, NO hay solución. Por lo tanto III) también es falsa.

I), II) y III) son FALSAS. Ninguna de ellas es verdadera, Alternativa E)

Fuente: DEMRE 2012

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones. Discusión de las soluciones.