Desafío - Geometría (Resuelto)

Respuesta:

Fuente: Faccímil PreU.P.Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III.) Geometría.
CMO: Ángulos en la Circunferencia.

Desafío - Transversales de Gravedad (Resuelto)

Respuesta:

Puedes hacer click en la figura para agrandar!
http://psu-matematicas.blogspot.com

Fuente: Núñez Rojo Jorge Marcelo - Libro PSU
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III.) Geometría.
CMO: Geometría Básica. Elementos Secundarios en el Triángulo.

Desafío - Geometría (un buen desafío)

ESTE PROBLEMA PUEDE SER UN POQUITO MÁS COMPLEJO POR SUS CONTENIDOS:


En un triángulo ABC, se traza la transversal de gravedad AM. Si el ángulo ABC mide 105º ; Si el ángulo ACB mide 30º, entonces cuánto mide el ángulo MAC = ?

A) 12 ; B) 14 ; C) 15 ; D) 16 º ; E) 18º


Respuesta:


La primera tarea es lograr la imagen que se asocia al problema:

Ahora a designar la incógnita principal y las incógnitas auxiliares:

Llamamos "x" a la incógnita auxiliar.

180 - (30 + 105) = 45, luego si el ángulo MAC = x ; entonces ángulo MAB mide (45 - x)

Llamamos "b" a la medida de la Transversal de gravedad AM,

llamamos "a" a la medida de los trazos iguales BM y MC.

y ahora ¿ Cómo se resuelve ? ohhhh: "teorema del seno"


Usemos el Teorema del SENO en dos triángulos:


Nota: Usamos 105 = 60 + 45

Ahora trabajamos la ecuación para encontrar ese ángulo "x".

Tenemos la tangente del ángulo "x" 
igual a (2 menos raíz de (3))


Si usamos una calculadora, y tomamos la inversa de la tangente nos da 15º. Pero esto no lo podemos hacer.


En su defecto vamos a calcular la tangente de 15º usando las fórmulas del ángulo medio:

Alternativa C)


Fuente: Recopilación Pedro Campillai
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II Geometría.
CMO: Teorema del SENO.

Desafío - Elementos Secundarios en el Triángulo

Respecto de los Elementos Secundarios en un triángulo, ¿ Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)?

A) El punto donde se intersectan las transversales de gravedad, determina en cada una de ellas dos segmentos que están en la relación 2:1.

B) El punto de intersección de las bisectrices de los ángulos internos de un triángulo es el Incentro y es el centro de la circunferencia inscrita al triángulo.

C) Las alturas de un triángulo se intersectan en un único punto llamado Ortocentro.

D) Las tres simetrales de un triángulo se intersectan en un punto llamado circuncentro y que es el centro de la circunferencia circunscrita.

E) Todas las anteriores son verdaderas.

Respuesta: E) ; Todas las alternativas son VERDADERAS!

Fuente: Creación personal.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Elementos Secundarios en un triángulo.

Desafío - Elementos Secundarios en el Triángulo

¿Cuál de las siguientes alternativa corresponde a la definición de Transversal de Gravedad?

A) Una Transversal de Gravedad es una perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto.

B) Una Transversal de Gravedad es una perpendicular trazada en el punto medio de un lado.

C) Una Transversal de Gravedad se logra uniendo los puntos medios de dos lados de un triángulo.

D) Una Transversal de Gravedad es un trazo que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

E) Ninguna de las Anteriores.

Respuesta: Veremos una a una las propuestas:

A) FALSA, esta es la definición de Altura.

B) FALSA, es la definición de Simetral.

C) FALSA, es la definición precisa de Mediana de un Triángulo.

D) VERDADERA, esta es la definición exacta de Transversal de Gravedad.

E) FALSA, pues la D) es la Verdadera.

Fuente: Creación Personal.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Elementos Secundarios en el Triásngulo.

Desafío - Geometría Analítica

Si A(-2,0) ; B(10,8) ; C(0,8) son los vértices de un triángulo, entonces, la medida de la longitud de la transversal de gravedad, relativa a C es:

Respuesta: La transversal de gravedad es un trazo que va, en este caso, desde C hasta el punto medio del trazo AB ..... Las coordenadas del punto medio del trazo AB son:

M = { (-2+10)/2 , (0+8)/2 } = {4,4} ,

luego la longitud de la transversal de gravedad es la distancia desde C hasta M

Longitud Transversal de Gravedad =

Alternativa A)

Fuente: Libro de Ejercicios PSU - U.Católica.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Geometría Analítica.

Desafío - Elementos Secundarios en el Triángulo

¿ Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta respecto de cualquier triángulo?

A) El incentro es el punto donde se intersectan las simetrales.

B) El centro de gravedad equidista de los lados del triángulo.

C) Las medianas se intersectan en un punto.

D) El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.

E) Las alturas se intersectan en la razón 2:1

Respuesta: Analizamos detalladamente cada una de las alternativas:

A) El incentro es el punto donde se intersectan las simetrales.

FALSA: El incentro en la intersección de BISECTRICES.

B) El centro de gravedad equidista de los lados del triángulo.

FALSA: El incentro, intersección de bisectrices, es el centro de la circunferencia inscrita, es ella la que equidista de los lados del triángulo.

C) Las medianas se intersectan en un punto.

FALSA: Las medianas se intersectan de a pares.

D) El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.

VERDADERA: El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita, ella debe pasar por los tres vértices. Nota: El circuncentro es la intersección de las simetrales.

E) Las alturas se intersectan en la razón 2:1

FALSA: Son las Transversales de Gravedad las que se intersectan en un único punto que las divide en dos trazos que están en razón de 1:2.

Alternativa D)

Fuente: Faccímil P.Valdivia - 2011

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Geometría Básica. Elementos Secundarios en el Triángulo.

Desafío - Elementos Secundarios en el Triángulo

Respuesta: a la Mediana, es justamente la definición de Mediana .... pero para hacer más completa la respuesta, recordemos:

Transversal de Gravedad: Trazo que va de un vértice al punto medio del lado opuesto.

Bisectriz: Recta (rayo) que divide en dos ángulos iguales a un ángulo dado (se dice: lo bisecta).

Altura: Trazo que une un vértice con el lado opuesto, formando un ángulo recto en su punto de contacto con el lado opuesto o con la prolongación de este.

Fuente: www.amatematicas.cl

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Geometría, conceptos básicos.

Desafío - Transversal de Gravedad

Se puede conocer el perímetro de un triángulo rectángulo en que uno de los catetos mide 7 cm si:

(1) La transversal de gravedad que parte desde el vértice del ángulo recto mide:

(2) La transversal de gravedad que parte desde el vértice del ángulo recto coincide con la altura.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) cada una por sí sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional.

Respuesta:

Veamos I)

Veamos II)

Cada una por sí sola, Alternativa D)

Fuente: Faccímil PSU - Editorial Universitaria.

NEM: Primero Medio - Tercero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Geometría Básica.

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Link al Diccio-Mates:

Concepto: Transversal de Gravedad:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Transversal%20de%20Gravedad