Desafío - Ecuación Cuadrática - 2do. Medio (Resuelto)

 Respuesta:

Fuente: Guía Escolar Varelas.

Nivel: 2do Medio.

Eje Temático: Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Cuadrática.

Desafío - Lanzamiento de pelota (Resuelto)

Respuesta:

Esta es una parábola con sus ramas abiertas hacia abajo, ello porque el signo del factor que acompaña a la variable al cuadrado es negativo.

Los dos ceros se producen cuando hacemos y = 0, y si factorizamos de inmediato tenemos:

t(-5t + 10) = 0
despejando:
t = 0 ; t = -10/-5 = 2

Es decir, la pelota está en el suelo (altura cero) a los 0 y 2 segundos.

Como la parabóla es simétrica, el máximo será en (0+2)/2 = 1 segundo, en el punto medio entre los dos ceros.

Cuando t=1, la altura será: y=1(-5(1)+10) = 5 metros.

Alternativa C)

Fuente: Texto Ejercicios PSU - U.Católica.
NEM: tercero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Eje de Simetría (Problema Resuelto)

Acá no debemos olvidar que la abcisa por la que pasa

el eje de simetría de una parábola es la semisuma de 

las dos raíces. 

OJO que hay otra fórmula, 

x= -b/2a, 

donde 

"a" y "b"

son los coeficientes numéricos que van en la función cuadrática, 

que no tenemos en este caso y es por eso que recurrimos a la otra herramienta.

para más información: Coordenadas del Vértice

Fuente: Faccímil PreU.P.Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática

Respuesta: Veremos las tres postulaciones a ser verdaderas:

I) VERDADERA: Si factoramos la Ecuación cuadrática asociada, para lograr las ra{ices tenemos:

t(8-t) = 0
arroja 2 raíces: t1=0 ; t2 = 8

II) FALSA: Acá basta evaluar la función en t=3:

h(3) = 8(3) - (3)(3) = 24 - 9 = 15

III) VERDADERA: La máxima altura se produce para la abcisa (t1+t2)/2 = (0+8)/2 = 4 seg.

I y III Verdaderas, Alternativa D)

Fuente: PreU. P. Valdivia.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: Tercreo Medio.
CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática

La Función Cuadrática cuya parábola tiene vértice (2,-3) es:

Respuesta: Alternativa C)

Una función Cuadrática de la forma:

Fuente: Faccímil PSU P.Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Función Cuadrática

Desafío - Máximo

Si la tasa de crecimiento de las rentas en una cierta empresa está dada por la función
de arriba, ¿ Cuál es el número de rentas que hace máxima la tasa de crecimiento ?

A) 30
B) 27
C) 20
D) 15
E) 10

Respuesta: Puesto que el coeficiente de "x al cuadrado" es negativo, esta es una parábola
con sus ramas abiertas hacia abajo. Esto implica un máximo en el vértice de la parábola.

La abcisa del vértice de la parábola es: -b/(2a). En este caso: b=4,5 y a= - 0,15

Luego: -b/(2a) = -4,5/(2x(-0,15)) = 15

La tasa de crecimiento se hace máxima en x=15


Fuente: Cepech - 2010
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. álgebra y Funciones.
CMO: Parábola

Desafío - Encontrar un Máximo

Los costos de una empresa C(x) están dados por la anterior expresión, donde "x" es la cantidad producida de un cierto artículo. ¿ Para cuantas unidades el costo es máximo ?

A) 250 ; B) 500 ; C) 1000 ; D) 1500 ; E) 2000

Respuesta: El coeficiente de "x al cuadrado" es ( - 1), por tanto esta es una parábola con las ramas que se abren hacia abajo .... ella nos sugiere entonces un máximo.

Este máximo es para la abcisa: (-b/2a) y como b= 2.000 y a=-1, entonces: -b/2a=(-2.000)/2(-1) = 2.000

el costo es máximo para 2.000 unidades.

Fuente: Texto Autopreparación - Eduardo Cid Figueroa.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgrebra y Funciones.

CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Coordenadas del Vértice

¿Cuál es el vértice de la anterior parábola?

A) (-1,6)

B) (1,2)

C) (1,3)

D) (1/2, 9/4)

E) (1,-2)

Respuesta: Sabemos que el vértice de una parábola tiene las coordenadas:

Vértice = (Xv , Yv) = ( -b/2a , f(-b/2a) )

a= 1 ; b= -2 ; c = 3

Xv = - ( -2) / { (2)(1)) = 2/2 = 1

Yv = (1)(1) - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2

Luego: Vértice = (Xv, Yv) = (1,2) ; Alternativa B)

Fuente: Texto de Autopreparación - Eduardo Cid Figueroa.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Cuadrática. Coordenadas del Vértice.

Desafío - Vértice de Parábola

En la función anterior, las coordenadas del vértice son:

A) (-1/2 ; -4)

B) (2 ; -4)

C) (1/2 ; -4)

D) (2 ; 4)

E) (-1/2 ; 4)

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Parábola, FuncióN Cuadrática.

Desafío - Funciones

Respuesta: Veamos cada una de las aseveraciones:

I) Para ver si hay 2 raíces buscamos el discriminante:

a= 1 ; b=-8 ; c=15

Discriminante: (-8)(-8) - 4(1)(15) = 64 - 60 = 4
Como es positivo, hay 2 soluciones; VERDADERA

II) El valor mínimo (pues las dos ramas se abren hacia arriba es: f(-b/2a) = f(-(-8)/2(1))=

Valor Mínimo: f(4) = (4)(4) -8(4)+15 = 16 - 32 + 15 = -1 ; VERDADERA

III) f(-3) = (-3)(-3) - 8(-3) + 15 = 9+24+15 que es mayor que cero; VERDADERA

I) II y III) Verdaderas, alternativa E)

Fuente: DEMRE.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática

Considere la función como se define anteriormente, con x en los números reales. El menor valor que alcanza la función es:

A) 5

B) 3

C) 2

D) 0

E) -1

Respuesta: En los coeficientes de la ecuación tenemos que:

a=2

b=4

c=5

Como "a" es positivo, las ramas se abren hacia arriba. Hay un valor mínimo, en el vértice!

La Abcisa de vértice es: Xv= -b/2a = -4/(2)(2) = -1

Luego la ordenada del Vértice, el valor mínimo pedido es:

Alternativa B)

Desafío - Maximizar Función Cuadrática

Fuente: Faccímil PSU – PreU. U.Católica

NEM: tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática

Fuente: Faccímil PSU – PreU. U.Católica

NEM: tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Maximizar Función Cuadrática

Fuente: Faccímil PSU – PreU. U.Católica

NEM: tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Planteo - Función Cuadrática

Fuente: Faccímil PSU – PreU. U.Católica

NEM: tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática

El vértice de la parábola anterior es el punto de coordenadas:

A) (-1,-2)
B) (1,-2)
C) (-1,2)
D) (1,2)
E) (-2,-1)

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: PREU U.Católica.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Función Cuadrática

Deasfío - Función Cuadrática - Vértice

La función:

es una parábola cuyo vértice es:

A) (0,3)
B) (0,0)
C) (0,-3)
D) (-3,0)
E) (3,0)

Respuesta: Una parábola de la forma:

Es una parábola cuyo vértice está en el origen.



Si a es positivo, tiene sus ramas abiertas hacia arriba.
Si a es negativo, tiene sus ramas abiertas hacia abajo.



Si tomamos la fórmula de una parábola, su vértice estará dado en funciçon de "b" y "a", como se muestra a continuación:

La Abcisa es -b/(2a)

La Ordenada es la función evaluada en -b/(2a)

Como en este caso b=0, entonces el vértice es (0,0)

porque -b/(2a) = 0/(2(-3)) = 0

y f(-b/(2a)) =f(0)=-3(0)^2=0

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Fuente: Educar Chile.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Función Cuadrática.