Desafío - Técnicas de Conteo (Resuelto)

¿De cuántas maneras diferentes puede un cliente ordenar un "sandwich" y una bebida si hay cinco clases de "sandwiches" y cuatro bebidas en el menú?

A) P(5,4)
B) C(5,4)
C) 9
D) 20
E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente: PreU.P.Valdivia-Específica
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: IV.) Datos y Azar.
CMO: Técnicas de Conteo.

Desafío - Probabilidad (Problema Resuelto)

Se sacan dos cartas al azar de un naipe corriente de 52 cartas (naipe inglés). Encuentre la probabilidad de que: una sea de corazón y otra de picas.

A)13/1326
B)13/102
C)26/1326
D)156/1326
E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

Hay C(52,2) formas de sacar 2 cartas de un lote:

C(52,2) = 52!/(50!x2!) = 52x51/2 = 1326

Hay 13 corazones que se pueden combinar con las 13 picas. Hay 13x13 = 169 combinaciones de corazones y picas.

La probabilidad pedida es: P = 169/1326 = 13/102

Fuente: Adaptación de ejercicio de Probabilidad - Seymour Lipschutz y Marc Lipson
NEM: 1ro. Medio
Eje Temático: IV.) Datos y Azar.
CMO: Probabilidad

Desafío - Probabilidad (Problema Resuelto)

De una baraja de 52 cartas se sacan dos al azar; hallar la probabilidad de que una de ellas sea 4 y la otra una reina.

A) 16/2652 ; B) 1/1326 ; C) 4/1326 ; D) 8/663 ; E) Ninguna anteriores.

Respuesta:

Hay C(52,2) formas de tomar 2 cartas de una baraja de 52 cartas.

C(52,2) = (52x51x50!/(2!x50!) = 1326

Hay 4 cartas con el número "4" y otras 4 cartas reina, entonces hay 4x4 = 16 formas de sacar un "4" y una reina ....

Luego la probabilidad es = 16/1326 = 8/663

Alternativa D)

Fuente: Variación de ejercicio del Álgebra Superior Hall and Knight
NEM: 1ro. Medio
Eje Temático: IV.) Datos y Azar.
CMO: Probabilidad y Combinatoria.

Desafío - Caminos (Problema Resuelto)

Respuesta:

Acá operan dos principios de las técnicas de conteo: El Principio Multiplicativo y el Principio Aditivo.

En el eje ACB opera el principio MULTIPLICATIVO, porque hay 4x1 caminos posibles dentro del eje.
En el eje ADB opera el principio MULTIPLICATIVO, porque hay 4x2 caminos posibles, cada uno de los 4 caminos de A a D se pueden combiar con cada uno de los 2 caminos de D a B.
En el eje AEB opera el principio MULTIPLICATIVO nuevamente, porque hay 3x2 caminos posibles dentro del eje.

Pero como sólo uno de los ejes ACB ó ADB ó AEB puede ocurrir (Sucesos Mutuamente excluyentes), acá opera el principio ADITIVO, y los tres resultados se deben sumar:

Hay ( 4x1 + 4x2 + 3x2 ) = ( 4 + 8 + 6 ) = 18 caminos posibles.

Alternativa B)

Fuente: Variación de ejercicio del P.Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: IV.) Datos y Azar.
CMO: Técnicas de conteo.

Respuesta:

Desafío - Probabilidad

Las muestras de ciertas pinturas son de uno de estos tres colores: rojo, verde o azul, y con una de estas dos terminaciones: opaca o brillante. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una muestra de pintura al azar, esta sea de color verde-opaco?

A) 1/6 ; B) 1/3 ; C) 1/2 ; D) 2/3 ; E) 5/6

Respuesta:

Primera forma de razonar:

Por el principio multiplicativo, hay (3x2) posibles combinaciones. (3 colores por 2 opacidades), y sólo una de ellas es la que nos sirve, entonces, por la Regla de Laplace la probabilidad es 1/6.

Segunda forma de razonar:

veamos los casos, enumerémoles, que es posible:

rojo-opaco, rojo-brillante, verde-opaco, verde-brillante, azul-opaco, azul-brillante ... y sólo una de 6 nos sirve: Probabilidad = Favorables/Posibles = 1/6, Alternativa A)

Fuente: Texto 1ro. Medio - 2010 - Santillana Bicentenario.

NEM: Segundo Medio (Currículum No ajustado).

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Probabilidad. Regla de Laplace. Principio Multiplicativo.

Desafío - Técnicas de Conteo

Pamela tiene 3 gorros, 5 bufandas y 2 pares de guantes. ¿ Cuántas tenidas distintas puede ahcer con estos tres accesorios ?

A) 6 tenidas.

B) 10 tenidas.

C) 15 tenidas.

D) 30 tenidas.

E) 60 tenidas.

Respuesta: Por el principio multiplicativo, tendremos 3x5x2 = 30 tenidas distintas .... veamos:

Go1, Go2, Go3 serán los gorros,

B1, B2, B3, B4, B5 serán las bufandas,

Gu1, Gu2 serán los guantes ....

las treinta conbinaciones posibles son:

Go1 B1 Gu1

Go1 B1 Gu2

Go1 B2 Gu1

Go1 B2 Gu2

Go1 B3 Gu1

Go1 B3 Gu2

Go1 B4 Gu1

Go1 B4 Gu2

Go1 B5 Gu1

Go1 B5 Gu2

Go2 B1 Gu1

Go2 B1 Gu2

Go2 B2 Gu1

Go2 B2 Gu2

Go2 B3 Gu1

Go2 B3 Gu2

Go2 B4 Gu1

Go2 B4 Gu2

Go2 B5 Gu1

Go2 B5 Gu2

Go3 B1 Gu1

Go3 B1 Gu2

Go3 B2 Gu1

Go3 B2 Gu2

Go3 B3 Gu1

Go3 B3 Gu2

Go3 B4 Gu1

Go3 B4 Gu2

Go3 B5 Gu1

Go3 B5 Gu2

Alternativa D)

Fuente: Santillana 1ro. Medio - Bicentenario.

NEM: Segundo Medio (Antes del Ajuste Curricular)

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Técnicas de Conteo.

Desafío - Espacio Muestral

Una moneda de $ 10, una de $ 50, una de $ 100 y una de $ 500, se lanzan al aire y se observan los sellos y caras que aparecen. ¿ Cuántos resultados posibles tiene este experimento ?

A) 4

B) 8

C) 16

D) 32

E) 64

Respuesta:

Primer razonamiento: Cada moneda introduce 2 posibilidades, y por el principio multiplicativo, tendremos entonces: 2 x 2 x 2 x 2 = 2 elevado a la cuarta = 16. Alternativa C)

Segundo razonamiento: Ver el Diagrama de Árbol, donde queda explícitamente que las posibilidades de este Espacio Muestral son 16:

Alternativa C)

Fuente: Santillana - 3ro. Medio.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Espacio Muestral. Diagrama de Árbol.

Desafío - Espacio Muestral

¿ Cuántos elementos tiene el espacio muestral del experimento que consiste en lanzar un dado y dos monedas ?

A) 4 elementos.

B) 6 elmentos.

C) 12 elementos.

D) 24 elementos.

E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta: Cada uno de los números del dado puede asociarse a la cara o al sello de la primera moneda, eso -por el principio multiplicativo- nos da 12 posibilidades, veamos:

sea c= sale cara; sea s = sale sello ....

1c - 2c - 3c - 4c - 5c - 6c

1s - 2s - 3s - 4s - 5s - 6s

pero acá todavía no está introducida la segunda moneda .... Cada uno de los resultado anteriores puede vinculare a un sello o cara de la tercera moneda -y por el principio multiplicativo- esto nos lleva a 12 x 2 = 24 posibilidades, veamos:

1cc, 1cs, 2cc, 2cs, 3cc, 3cs, 4cc, 4cs, 5cc, 5cs, 6cc, 6cs

1sc, 1ss, 2sc, 2ss, 3sc, 3ss, 4sc, 4ss, 5sc, 5ss, 6sc, 6ss

24 posibilidades, alternativa D)

Fuente: Santillana Bicentenario 2do. Medio.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.

CMO: Espacio Muestral.

Desafío - Principio Multiplicativo

Las muestras de ciertas pinturas son de uno de estos colores: rojo, verde o azul, y con una de estas dos terminaciones: opaca o brillante.

¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una muestra de pintura al azar, ésta sea de color verde opaco?

A) 1/6
B) 1/3
C) 1/2
D) 2/3
E) 5/6

Respuesta: Las alternativas totales son 6, al suar el principio multiplicativo, porque cada color puede ser opaco o brillante.

Etas son las alternativas:

Rojo - Opaco
Rojo - Brillante
Verde - Opaco
Verde - Brillante
Azul - Opaco
Azul - BRillante

Solamente una de estas alternativas es favorable: Verde - Opaco, es decir 1 de 6.

La alternativa correcta es A)

Fuente - DEMRE - 2008
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: Estadística y Probabilidad.
CMO: Regla de Laplace.

Desafío - Técnicas de Conteo

Un candidadto a la presidencia desea visitar 8 ciudades. ¿De cuántas formas puede ordenar las tres primeras ciudades?

A) 3!
B) 8
C) 56
D) 336
E) 8!

Respuesta:

En su primera visita puede ir a cualquiera de las 8 ciudades, en la segunda pdrá ir a las 7 que restan luego de visitar la primera y en la tercera visita puede ir a 6 ciudades una vez que ya visitó las 2 primeras .... esto, segun el principio multiplicativo nos da: 8 x 7 x 6 = 336 Posibilidades. Alternativa D).

Esto se pudo resolver usando el concepto de Permutaciones, la respuesta que nos pide este ejercicio equivale a realizar una permutación de 8 sobre 3 elementos = 8P3, veamos el cálculo:

Fuente: Santillana - 3ro. Medio
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Técnicas de Conteo.

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Principio Multiplicativo

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Principio%20Multiplicativo

Concepto: Permutaciones

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Permutaciones

Desafío - Técnicas de Conteo

Una compañía telefónica establece para sus llamadas de larga distancia un número de 3 dígitos.

Si el primer dígito no puede ser 0 o 1 y el segundo dígito debe der 0 o 1, los códigos que podrían formarse son:

A) 160
B) 320
C) 500
D) 720
E) 1000

Respuesta: Pensemos en que los números los ponemos dentro de tres cajitas adjuntas:

Alternativa A)

Fuente: Libro Ejercicios 3ro. Medio - Santillana
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III Estadísticas y Probabilidades
CMO: Técnicas de Conteo.

Desafío - Principio Multiplicativo

En el experimento aleatorio: "lanzar 3 dados y observar el resultado que aparece en cada uno de ellos", la cantidad de puntos muestrales que tiene el espacio muestral es:

A) 216
B) 36
C) 18
D) 6
E) 3

Respuesta: El primer dado tiene 6 posibilidades, el segundo otras 6 y el tercero también 6 posibilidades. Luego, por el Principio Multiplicativo hay 6 x 6 x 6 = 216 posibilidades totales.

Alternativa A)

EXPLICACION del Principio Multiplicativo:

Veamos un ejemplo sencillo que aclare por qué esto de multiplicar. Supongamos que tengo 2 pares de zapatos (uno negro y otro café) y tres camisas (lila, roja, verde). ¿Cuáles son las posibilidades de vestirme?

zapato negro - camisa lila

zapato negro - camisa roja

zapato negro - camisa verde

zapato café - camisa lila

zapato café - camisa roja

zapato café - camisa verde

HAY 6 posibilidades, eso lo dice el principio Multiplicativo:
2 posibilidades de zapatos x 3 posibilidades de camisas=
2 x 3 = 6 posibilidades totales.

Fuente: Cuaderno Trabajo PSU Matemáticas 3ro. Medio - Mare Nostrum y Preu. P. Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: a. Variable Aleatoria.

Desafío - Probabilidades

¿ Cuál es la probabilidad de obtener 7 ó 5 al lanzar simultáneamente dos dados?

A) 5/18
B) 5/36
C) 4/9
D) 2/9
E) 1/3

Respuesta: Pensemos que situamos en un par ordenado los puntajes de cada uno de los dados lanzados, en el estilo (primer dado, segundo dado)

Formemos todas las parejas de suman 7 al lanzar dos dados:

(1,6) - (2,5) - (3,4) - (4,3) - (5,2) - (6,1) : 6 en total

Formemos ahora todas las parejas que suman 5 al lanzar dos dados:

(1,4) - (2,3) - (3,2) - (4,1) : 4 en total

6 + 4 = 10

HAY 10 casos FAVORABLES !!!!

Son Diez casos favorables y 36 casos totales, pues el primer dado tiene 6 posibilidades y el segundo también, luego por el principio Multiplicativo son 6x6 en total = 36.

Según la LEY de LAPLACE, la probabilidad pedida es:

Probabilidad (de 5 o 7, en la suma del lanzamiento de 2 dados)=
=casos favorables/total de casos= 10 /36 = 5/18

Fuente: CEPECH
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Juegos de azar sencillos. Ley de Laplace.

Desafío - Técnicas de Conteo

¿ Cuántos números distintos de 3 cifras y múltiplo de 5 se pueden formar con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 sin que se repitan los dígitos ?

A) 40
B) 36
C) 32
D) 30
E) 20

Respuesta: Pensemos que el número de tres cifras lo voy a escribir en un set de cajoncitos como el que se muestra a continuación (hay tres cajones porque son números de tres cifras):

sigamos razonando: el número DEBE ser múltiplo de 5, por tanto: DEBE terminar o en "0" u en "5".

Caso 1: terminados en cero:

Entonces, el último cajón tendrá en número "0". Recordamos que los números constitutivos no se pueden repetir .... Por eso cuando en el primer cajón (de la izquiera) uso un número, tengo un número menos para poner en el cajón del centro ....

El total es 5 x 4 = 20 por el principio Multiplicativo ....

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Caso 2: terminados en 5:

Entonces el último cajón tendrá el número 5:
Luego, los casos totales son: 20 + 16 = 36, Alternativa B)

Fuente: CEPECH
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III Estadística y Probabilidad.
CMO: Técnicas de Conteo.

Desafío Probabilidades

La probabilidad de obtener tres números iguales al lanzar tres dados es:

A) 1/6
B) 1/3
C) 3/6
D) 1/36
E) Ninguno de los anteriores.

Respuesta: Solo pueden ser tres números iguales, al lanzar tres dados, las combinaciones (1,1,1) ; (2,2,2) ; (3,3,3) ; (4,4,4) ; (5,5,5) y (6,6,6) ... SON 6 casos! FAVORABLES !

Y como en cada dado puede haber 6 posibilidades, por el principio multiplicativo, las combinaciones totales son 6x6x6=216.

Luego, usando la regla de Laplace, la probabilidad pedida es: 6/216 = 1/36

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Fuente: Proyecto SER - Santillana - 2007
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Juegos de Azar Sencillos.