Desafío - Probabilidad (Problema Resuelto)

Al lanzar dos dados comunes,

I) 30 veces, en 15 de ellas la suma de sus puntos sería par.
II) 600 veces, en 100 de ellas la suma de sus puntos será siete.
III) 1800 veces, teóricamente alrededor de 200 veces la multiplicación de sus puntos sería 12.

¿Cuál(es) es(son) verdadera(s)?

A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo III.
D) Sólo I y II.
E) Sólo II y III.

Respuesta:

Nota 1: Este es un problema relativo a la LEY de los GRANDES NÚMEROS.

Nota 2: La ley de los Grandes Números dice que la probabilidad experimental se acercará tanto como queramos, a la probabilidad teórica, en la medida que el número de veces que se realiza el experimento sea cada vez más grande.

Nota 3: Las tres probabilidades teóricas asociadas a los enunciados están bien, veamos.

I) P(suma par) = 18/36 = 1/2

18 Pares: (1,1) (1,3) (1,5) (2,2) (2,4) (2,6) (3,1) (3,3) (3,5) (4,2) (4,4) (4,6) (5,1) (5,3) (5,5) (6,2) (6,4) (6,6).

II) P(Suma Siete) = 6/36=1/6

6 Pares: (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1).

III) P(Producto sea 12)=4/36=1/9

4 pares: (2,6) (6,2) (3,4) (4,3)

Nota 4: Podríamos multiplicar la cantidad total de experimentos por las probabilidades teóricas y nos darían las cantidades de veces señalas en I, II, III .... SIN EMBARGO ....

Nota 5: SIN EMBARGO, la única alternativa que expresa bien lo que debiese suceder es la alternativa III, en ella está dicha la ley de los grandes números de forma cabal ...

Sólo es verdadera III) Alternativa C)

Otra forma de mirar:

I) El número de experimentos es bajo y no está enunciada la Ley de los Grandes Números, por estos dos elementos es FALSA.

II) El número de experimentos es un poco más grande, eso mejora, pero nuevamente NO está enunciada la Ley de los Grandes Números.

III) El número de experimentos es MUCHO más grande y además está adecuadamente expresada la ley de los Grandes Números.

Fuente: Material PSU P.Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: IV.) Datos y Azar.
CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Tabla de Frecuencias

La anterior tabla indica la distribución de los puntajes obtenidos por los educandos de un cuarto medio en un ensayo PSU de matemática. Al escoger al azar un educando, ¿ Cuál es la probabilidad de que haya obtenido por lo menos 600 puntos ?

A) 3/10 ; B) 1/3 ; C) 2/5 ; D) 3/5 ; E) 19/30

Respuesta:

Ojo que la suma de frecuencias es: 3+6+9+10+2


Quienes tienen 600 o más puntos ( lo que equivale a "por lo menos 600 puntos") son: 10 + 2 = 12.


P(que haya obtenido por lo menos 600 puntos) = 12/30 = 2/5 ; Alternativa C)

Fuente: Faccímil PSU P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Probabilidad.

Desafío - Probabilidad

Si se tira una moneda 1.000 veces, ¿ Cuántas veces sale cara ?

A) 500 veces
B) 25 veces
C) 75 veces
D) Cerca de 500 veces
E) Siempre más de 500 veces

Respuesta:

Por la Ley de los Grandes Números, la probabilidad experimental (o a posteriori) debe acercarse a la probabilidad a priori o teórica en la medida que el número de experimentaciones crece.


Por esta misma Ley, la de los Grandes Números, cerca de la mitad debería salir cara, aunque esto no es una obligación.


Alternativa D)

Fuente: Edo. Cid Figueroa - Texto PSU Matemáticas.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Probabilidad Frecuentista

La siguiente tabla muestra la distribución de las edades de un grupo de personas que trabajan en una pequeña fábrica. Si se selecciona una persona al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que la persona sea mayor de 25 años?

Edad: de 17 a 25 años - 15 personas

Edad: de 26 a 40 años - 23 personas

Edad: de 41 a 50 años - 7 personas

Edad: mayores de 50 años - 5 personas

A) 1/10

B) 3/10

C) 19/25

D) 7/10

E) 1

Respuesta: 15 + 23 + 7 + 5 = 50

Son mayores de 25 años:

23 (de 26 a 40) + 7 (de 41 a 50) + 5 (de 50 y más) =

= 23+7+5 = 35

La Probabilidad pedida es: 35/50 = 7/10 : Alternativa D)

Fuente: Manual PSU - U.Católica.

NEM: Cuarto Medio,

Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.

CMO: Interpretación de Tabla de Frecuencias. Estadísticas.

Desafío - Diagrama de Árbol

Se tienen 2 cucharas y 2 tenedores en una bolsa. Si se extraen uno al azar y luego otro más, como lo muestra el diagrama,

¿ Cuál es la probabilidad de extraer por lo menos 1 tenedor ?

A) 1/4

B) 1/3

C) 1/2

D) 3/4

E) 5/6

Respuesta:

3 casos favorables

4 casos posibles

Probabilidad Pedida = 3/4

Fuente: Santillana 1ro. Medio - 2010

NEM: Segundo Medio (Currículum NO correjido)

Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.

CMO: Probabilidad. Diagramas de Árbol.

Desafío - Probabilidad Experimental

Con respecto a la Probabilidad Experimental (o a Priori) es CIERTO que:

I.) Se debe repetir muchas veces el experimento.

II.) Se basa en el cálculo de la frecuencia relativa.

III.) Tiene el mismo resultado que la teórica.

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) I y II.

D) I y III.

E) I, II y III.

Respuesta:

La Probabilidad Experimental o Probabilidad a Priori o Probabilidad Frecuentista considera a la probabilidad como el valor de la frecuencia relativa en la cual tiende a estabilizarse un evento al repetir un experimento MUCHAS veces.

La Probabilidad Frecuentista es Experimental, ya que se aplica solo a casos donde es posible repetir de forma física un experimento muchas veces.

La Probabilidad Teórica de un evento se puede lograr cuando todos los resultados posibles son equiprobables, es decir cuando tienen la misma posibilidad de ocurrir. Se la calcula con la Regla de Laplace, dividendo la cardinalidad del conjunto del suceso por la cardinalidad del espacio muestral. Esta probabilidad se le conoce también como probabilidad a priori, ya que se puede conocer antes de realizar el experimento.

La Probabilidad Frecuentista se aproxima al valor teórico de la Probabilidad a Priori, mientras MAYOR es el número de repeticiones es mejor la aproximación.

Por lo anterior:

I) Verdadera.

II) Verdadera.

III) Falsa.

Alternativa C)

Fuente: Santillana 1ro. Medio - 2010.

NEM: Tercero Medio (Antes del Ajuste Curricular)

Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidades.

CMO: Probabilidad. Probabilidad Experimental, Probabilidad Teórica.

Desafío - Ley de los Grandes Números

Según la Ley de los Grandes Números, ¿qué debería ocurrir al aumentar el número de lanzamientos de una moneda?

A) La mitad de los lanzamientos va a ser cara.
B) Después de un número de lanzamientos salen más caras que sellos.
C) La frencuencia con que sale sello se va aproximando a 0,5.
D) La frecuencia relativa con que sale cara se va aproximando a 0,5.
E) La frecuencia relativa con que sale cara se mantiene constante.

Respuesta:

La Ley de los Grandes Números nos ayuda a relacionar la Probabilidad Teórica con la Frecuencia Relativa de un experimento que se repite un número grande de veces.

En otro términos nos ayuda a establecer un vínculo entre Probabilidad a Priori (Teórica) y Probabilidad a Posteriori (o Experimental)

Es imprescindible que se hable de FRECUENCIA Relativa, sólo así nos aseguramos que la Frecuencia Relativa Experimental que asociamos a la probabilidad teórica sea un número entre 0 y 1 (inclusives). Una frecuencia cualquiera -no relativa- puede ser un número mayor que 1.

La Ley de los Grandes Números nos dice que "al repetir muchísimas veces un experimento, la frecuencia relativa de un suceso se va acercando cada vez más a su probabilidad teórica".

Esto valida la altermativa D)

Fuente: Libro 2do. Medio - Cid Figueroa E.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Estadística

Una empresa de transporte de paquetes lleva un registro de los pesos de las encomiendas enviadas; para el mes en curso es posible construir la siguiente tabla de frecuencias para los pesos P de los paquetes y resulta ser similar a la de los meses anteriores.

Entonces, la probabilidad que se envíe un paquete cuyo peso está entre 20 kg y 40 kg es:


Respuesta:

Por la Ley de los Grandes Números sabemos que cuando un experimento se repite muchas veces, la frecuencia relativa tiende, se acerca cada vez más hacia la probabilidad teórica. En este caso nos dicen que la tabla para un mes se repite de manera muy similar a los meses anteriores. Por esto es que asociamos la probabilidad con la frecuencia relativa ....

Probabilidad pedida = (58+68+53+40)/340 = 0,64411764705 = 64,41 %

Alternativa C)

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Fuente: ZIG-ZAG - Proyecto PSU - Matemáticas.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Relación entre Probabilidad y Frecuencia Relativa. Ley de los Grandes Números.