Desafío - Rectas (Resuelto)

La ecuación (2-k)x + 3y – 4 = 0 representa una recta perpendicular a la recta cuya ecuación es -6x+y-9=0. 

¿Cuál es el valor de k?

A) 20 ; B) 3/2 ; C) 8 ; D) 7/2 ; E) 13/6

Respuesta:

Busquemos la pendiente de la recta: -6x + y - 9 = 0
para ello despejamos "y":
y = 6x + 9
Su pendiente m = 6

Luego, la pendiente de la primera recta: (2-k)x + 3y - 4, debe ser igual a (-1/6), pues por condición de perpendicularidad, una recta es perpendicular a otra de pendiente "m", cuando su pendiente es igual a (-1/m), para que el producto de las dos pendientes sea igual a -1.

Veamos entonces la pendiente de la primera recta:
(2-k)x + 3y - 4 = 0
despejemos "y":
3y = -(2-k)x + 4
3y = (k-2)x + 4
y = (1/3)(k-2)x + 4/3
La pendiente es: (k-2)/3

Luego: (k-2)/3 = -1/6
6(k-2) = 3(-1)
6k - 12 = -3
6k = -3 + 12
6k = 9
k = 9/6 = 3/2

Alternativa B)

Fuente: DEMRE
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Ecuación de la Recta.

Desafío - Rectas (Resuelto)

Respuesta:

Veamos primero, para de allí sacar la pendiente que debe tener L1. 
(Porque OJO: de L1 sólo conocemos un punto: (2,0))
Ecuación por trazo para L2:
x/5 + y/4 = 1
Multiplicamos por 20, para sacar denominadores:
4x + 5y = 20
5y = -4x + 20
y = (-4/5)x + 4
La pendiente de L2 es -4/5

Luego: L1, para ser perpendicular debe tener pendiente (5/4), porque se debe cumplir que (-4/5)(5/4) = -1

Entonces, L1 está caracterizada por la pendiente m= 5/4, y por pasar por el punto (x1,y1) = (2,0)

Usando la Ecuación Punto-Pendiente: y-y1 = m(x-x1)

y - 0 = (5/4)(x-2)
y = 5/4(x-2)

Alternativa B)

Fuente: DEMRE
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Geometría Analítica. Rectas en el Plano Cartesiano.

Desafío - Rectas en el Plano (Resuelto)

Respuesta:

Lo que conviene aquí es escribir la ecuación de la recta dada: 6x + 3y - 8 = 0, en su FORMA PRINCIPAL:

6x + 3y - 8 = 0
Tratamos de aislar la "y" (Variable dependiente)
3y = -6x + 8
Luego divisimos por 3 a ambos lados de la ecuación:
y = (-6/3)x + 8/3
y = -2x + 8/3

Para que otra recta sea paralela a esta, deberá tener la misma pendiente m=-2

Eso ocurre sólo en la alternativa E)

Fuente: Tercero Bicentenario Santillana.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Rectas en el Plano.

Desafío - Rectas en el Plano (Resuelto)

Respuesta:
Grafiquemos con WINPLOT y PAINT estos dos puntos:

Esta recta tiene pendiente indefinida, o sea tan grande como queramos .... Alternativa A)

Fuente: Bicentenario Santillana 3ro. Medio.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Rectas en el Plano.

Desafío - Rectas en el Plano (Resuelto)

Respuesta:

Construyamos las dos rectas:

R1: P1(1,3) ; m1 = 2
y - 3 = 2(x-1)
y = 2x +1

R2: P2(8,2) ; m2 = -1/2 (para que sea perpendicular al la otra recta de pendiente 2).
y - 2 = -1/2(x-8)
y = -x/2 + 6

Luego el punto x, la abcisa del punto P, que es donde se cortan, está dado de igualar las dos ordenadas en el punto:

2x + 1 = -x/2 + 6
multiplicamos por 2
4x + 2 = -x + 12
5x = 12 - 2
5x = 10
x = 2

Alternativa C)

Fuente: DEMRE
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Rectas en el Plano.