Desafío - Probabilidad Teórica - 8avo. Medio - Resuelto

RESPUESTA:

Fuente: DEMRE 2007

NEM: 8avo. Medio.

Eje Temático: Datos y Azar.

CMO: Probabilidad Teórica, Regla de Laplace.

 

Desafío - Probabilidad (Problema Resuelto)

Al lanzar dos dados comunes,

I) 30 veces, en 15 de ellas la suma de sus puntos sería par.
II) 600 veces, en 100 de ellas la suma de sus puntos será siete.
III) 1800 veces, teóricamente alrededor de 200 veces la multiplicación de sus puntos sería 12.

¿Cuál(es) es(son) verdadera(s)?

A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo III.
D) Sólo I y II.
E) Sólo II y III.

Respuesta:

Nota 1: Este es un problema relativo a la LEY de los GRANDES NÚMEROS.

Nota 2: La ley de los Grandes Números dice que la probabilidad experimental se acercará tanto como queramos, a la probabilidad teórica, en la medida que el número de veces que se realiza el experimento sea cada vez más grande.

Nota 3: Las tres probabilidades teóricas asociadas a los enunciados están bien, veamos.

I) P(suma par) = 18/36 = 1/2

18 Pares: (1,1) (1,3) (1,5) (2,2) (2,4) (2,6) (3,1) (3,3) (3,5) (4,2) (4,4) (4,6) (5,1) (5,3) (5,5) (6,2) (6,4) (6,6).

II) P(Suma Siete) = 6/36=1/6

6 Pares: (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1).

III) P(Producto sea 12)=4/36=1/9

4 pares: (2,6) (6,2) (3,4) (4,3)

Nota 4: Podríamos multiplicar la cantidad total de experimentos por las probabilidades teóricas y nos darían las cantidades de veces señalas en I, II, III .... SIN EMBARGO ....

Nota 5: SIN EMBARGO, la única alternativa que expresa bien lo que debiese suceder es la alternativa III, en ella está dicha la ley de los grandes números de forma cabal ...

Sólo es verdadera III) Alternativa C)

Otra forma de mirar:

I) El número de experimentos es bajo y no está enunciada la Ley de los Grandes Números, por estos dos elementos es FALSA.

II) El número de experimentos es un poco más grande, eso mejora, pero nuevamente NO está enunciada la Ley de los Grandes Números.

III) El número de experimentos es MUCHO más grande y además está adecuadamente expresada la ley de los Grandes Números.

Fuente: Material PSU P.Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: IV.) Datos y Azar.
CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Probabilidad

Si se tira una moneda 1.000 veces, ¿ Cuántas veces sale cara ?

A) 500 veces
B) 25 veces
C) 75 veces
D) Cerca de 500 veces
E) Siempre más de 500 veces

Respuesta:

Por la Ley de los Grandes Números, la probabilidad experimental (o a posteriori) debe acercarse a la probabilidad a priori o teórica en la medida que el número de experimentaciones crece.


Por esta misma Ley, la de los Grandes Números, cerca de la mitad debería salir cara, aunque esto no es una obligación.


Alternativa D)

Fuente: Edo. Cid Figueroa - Texto PSU Matemáticas.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Probabilidad

Se lanza un dado 3.000 veces. El número de veces en que aparece un número par mayor que 3 se puede estimar en:

A) 500

B) 1.000

C) 1.500

D) 2.000

E) Ninguna de las Anteriores.

Respuesta:

La Probabilidad Teórica de que al lanzar un dado aparezca un número PAR mayor que 3, es 2 de 6 posibilidades (que aparezca el 4 o el 6) ....

Al repetir un experimento muchas veces (3.000 veces), la probabilidad experimental se va a ir acercando a la teórica .... luego es altamente probable que 1.000 de las veces aparezca un número PAR mayor que 3.

Alternativa B)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III: Probabilidad y Estadística.

CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Probabilidad Experimental

Con respecto a la Probabilidad Experimental (o a Priori) es CIERTO que:

I.) Se debe repetir muchas veces el experimento.

II.) Se basa en el cálculo de la frecuencia relativa.

III.) Tiene el mismo resultado que la teórica.

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) I y II.

D) I y III.

E) I, II y III.

Respuesta:

La Probabilidad Experimental o Probabilidad a Priori o Probabilidad Frecuentista considera a la probabilidad como el valor de la frecuencia relativa en la cual tiende a estabilizarse un evento al repetir un experimento MUCHAS veces.

La Probabilidad Frecuentista es Experimental, ya que se aplica solo a casos donde es posible repetir de forma física un experimento muchas veces.

La Probabilidad Teórica de un evento se puede lograr cuando todos los resultados posibles son equiprobables, es decir cuando tienen la misma posibilidad de ocurrir. Se la calcula con la Regla de Laplace, dividendo la cardinalidad del conjunto del suceso por la cardinalidad del espacio muestral. Esta probabilidad se le conoce también como probabilidad a priori, ya que se puede conocer antes de realizar el experimento.

La Probabilidad Frecuentista se aproxima al valor teórico de la Probabilidad a Priori, mientras MAYOR es el número de repeticiones es mejor la aproximación.

Por lo anterior:

I) Verdadera.

II) Verdadera.

III) Falsa.

Alternativa C)

Fuente: Santillana 1ro. Medio - 2010.

NEM: Tercero Medio (Antes del Ajuste Curricular)

Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidades.

CMO: Probabilidad. Probabilidad Experimental, Probabilidad Teórica.

Desafío - Probabilidad

Si una persona tira tres veces una moneda y las tres veces resulta cara, ¿Cuál es la probabilidad de que la cuarta vez obtenga sello?

A) 0
B) 1
C) 1/16
D) 1/2
E) 1/32

Respuesta: El cuarto suceso es independiente de lo que ha pasado en los tres anteriores sucesos. La probabilidad teórica o a priori sigue siendo la misma al lanzar una moneda = 1/2. Alternativa D).

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Fuente: Sector Matemático.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III. Estadística y probabilidad.

CMO: Juegos de Azar Sencillos.

Desafío Probabilidad

¿Cuál es la probabilidad que me gane la rifa de mi colegio, si compro el 30% de los números sabiendo que son 1.000 números?

A) 300
B) 30
C) 3
D) 3/10
E) 3/100

Respuesta: En primer lugar las alternativas A), B) y C) nopueden ser porque una probabilidad puede variar entre 0 y 1 (ambos inclusive) o equivalentemente entre 0% y 100% (ambos inclusives)-

Si tiene el 30% de las entradas, independientemente el total de entradas(podrían haber sido 5.000 entradas), ESA ES SU PROBABILIDAD = 0,3 = 30%, alternativa D).

O si se quiere: los casos favorables son 30% de 1.000 = 300, los casos toatles son 1.000. Luego, usando la Regla(Ley) de Laplace, la probabilidad pedida es:

casos favorables/total de casos = 300/1.000 = 0,3 = 30 %

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Fuente: CEPECH
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: Probabilidad, Ley de Laplace.

Desafío DEMRE - Probabilidades

Respuesta: Vamos a proceder revisando cada alternativa:

Alternativa A), al agregar 1 ficha negra, quedan 4 fichas negras y 2 blancas. Luego la probabilidad de extraer una ficha negra es: (4 negras)/(6 fichas en total) = 4/6 = 2/3

La alternativa señala lo que nos piden, está correcta, NO es necesario seguir revisando las otras.

Alternativa A)

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Fuente: DEMRE 2003
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Juegos de azar sencillos, Ley de Laplace, Experimentos con Resultados Equiprobables.

Desafío DEMRE 2004

¿ Cuál es la probabilidad de que al lanzar 3 monedas, simultáneamente, 2 sean caras y una sello ?
A) 3/8
B) 1/8
C) 2/8
D) 1/3
E) 2/3

Solución propuesta: ya viene .....

Primera Solución: Podríamos escribir todas las combinaciones posibles, que se producen al lanzar tres monedas simultáneamente:

Ahora resaltemos aquellas soluciones que son favorables a lo que pide el problema: De donde son tres los casos posibles, que puestos como vectores son:
(Primer lanzamiento, Segundo lanzamiento, Tercer lanzamiento): (C,C,S) ; (C,S,C) ; (S,C,C)

Y son ocho los resultados totales (2 elevado a 3)

Por tanto, de acuerdo a la ley de Laplace, la solución correcta es: 3/8
La alternativa correcta es la A)

Segunda Solución: Esto se pudo haber visualizado con un diagrama de árbol:

resaltados están los tres casos en que hay dos caras y un sello .... la probabilidad pedida nuevamente es 3/8.

Tercera Solución: Las combinaciones resultantes de lanzar 3 monedas simultáneas están relacionadas con la línea relativa al cubo del binomio en el Triángulo de Pascal (o de Tartaglia):

O lo que es lo mismo, las combinaciones están dadas por la expansión del teorema del binomio, para el caso de un binomio al cubo, veamos:

Tres son los casos favorables nuevamente, 8 son los casos totales nuevamente y nuevamente la altermnativa correcta es la A) 3/8

Queda enteramente resuelto!

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Fuente: DEMRE 2004.
NEM: Segundo Medio, Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Probabilidad Teórica, Ley de Laplace, Relación con el Triángulo de Pascal, Juegos de Azar Sencillos, Representación de resultados, Diagramas de árbol, Teorema del Binomio.