Desafío - Probabilidad

imagen del Blog http://psu-matematicas.blogspot.com

En un juego se tienen 4 cartones, los de arriba.

Si se tiran dos dados y se suman los puntajes;
el cartón ganador es aquel que contenga esta suma.

¿ Cuál de los cartones tiene más probabilidad de ganar ?

A) el 1
B) el 2
C) el 3
D) el 4
E) Todos los cartones tienen igual probabilidad de ganar.

Respuesta:

Probabilidad de sumar "2" - 
Pares: (1,1), Probabilidad = 1/36
Probabilidad de sumar "3" -
Pares: (1,2) ; (2,1), Probabilidad = 2/36
Probabilidad de sumar "4" -
Pares: (1,3) ; (3,1) ; (2,2), Probabilidad = 3/36
Probabilidad de sumar "5" -
Pares: (1,4) ; ( 4,1) ; (2,3) ; (3,2), Probabilidad = 4/36
Probabilidad de sumar "6" -
Pares: (1,5) ; (5,1) ; (2,4) ; (4,2) ; (3,3), Probabilidad = 5/36
Probabilidad de sumar "7" -
Pares: (1,6) ; (6,1) ; (2,5) ; (5,2) ; (3,4) ; (4,3), Probabilidad = 6/36
Probabilidad de sumar "8" -
Pares: (2,6) ; (6,2) ; (3,5) ; (5,3) ; (4,4), Probabilidad = 5/36
Probabilidad de sumar "9"
Pares: (3,6) ; (6,3) ; (4,5) ; (5,4), Probabilidad = 4/36
Probabilidad de sumar "10" -
Pares: (6,4) ; (4,6) ; (5,5), Probabilidad = 3/36
Probabilidad de sumar "11"
Pares: (5,6) ; (6,5), Probabilidad = 2/36
Probabilidad de sumar "12"
Pares: (6,6), Probabilidad = 1/12

Luego la probabilidad de los cartones son la suma de las probabilidades de los números que incluyen:

(Nota: las probabilidades de los números van asociadas con colores)

Cartón 1: (1, 3, 5) - Probabilidad = 0 + 2/36 + 4/36 = 6/36
Cartón 2: (2, 4, 8) - Probabilidad = 1/36 + 3/36 + 5/36 = 9/36
Cartón 3: (6, 9, 10) - Probabilidad = 5/36 + 4/36 + 3/36 = 12/36
Cartón 4: (7, 11, 12) - Probabilidad = 6/36 + 2/36 + 1/36 = 9/36

La Mayor probabilidad se asocia al cartón (6,9,10);

Alternativa C)

Fuente: Texto 2do. Medio - Eduardo Cid Figueroa.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III: Probabilidad y Estadística.
CMO: Probabilidad. Juegos de azar sencillos.

Desafío - Juego de Azar

Un juego consiste en lanzar 2 dados. Si la diferencia entre los puntos de ambos es par, ganamos (Considere el cero como PAR). En cambio, si la diferencia es impar, perdemos. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

A) 1/2 ; B) 1/3 ; C) 3/4 ; D) 2/3 ; E) 1/4

Respuesta: Mostremos todas las probabilidades de ganar:

Diferencia 0: (1,1) ; (2,2) ; (3,3) ; (4,4) ; (5,5) ; (6,6)
Diferencia 2: (3,1) ; (1,3) ; (2,4) ; (4,2) ; (3,5) ; (5,3) ; (4,6) ; (6,4)
Diferencia 4: (6,2) ; (2,6) ; (5,1) ; (1,5)

Son 18 casos favorables en total, son 36 los casos posibles, la Probabilidad Pedida = 18/36 = 1/2

Alternativa A)

Miremos los casos favorables (elipses rojas) en una matriz de Espacio Muestral:

Nuevamente comprobamos 18/16 = 1/2

Fuente: Manual PSU - U. Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III: Probabilidad y Estadística.
CMO: Regla de Laplace.

Desafío 60 - DEMRE 2012

60. Patricio y Felipe juegan en una máquina que tiene siete fichas del mismo tipo,

numeradas del 1 al 7. La máquina arroja sólo una ficha al azar; si sale par gana

Patricio, si sale impar gana Felipe. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es

(son) siempre verdadera(s)?

I) Patricio tiene, aproximadamente, un 43% de probabilidad de ganar.

II) Si se saca de la máquina una ficha al azar de las siete, y se juega con las

seis restantes, entonces ambas personas tienen la misma probabilidad de

ganar.

III) Si se agrega una ficha a la máquina con el número 8, entonces ambas

personas tienen la misma probabilidad de ganar.

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II y III

Respuesta: Analizamos cada una de las propuestas I), II) y III).

I) VERDADERA: Patricio gana con PAR. Pares son: {2,4,6} es decir: 3/7 = 0,42857 .... Cerca al 43%.

II) FALSA: Si se saca al azar una ficha, esta -por ejemplo- puede ser par: Luego Patricio tendría una probabilidad = 2/6 y Felipe una de 4/6, que NO son iguales.

III) VERDADERA: Si se agrega una ficha con el nro 8, las prabailidades se equiparan pues habrá 4 números pares {2,4,6,8} que equiparan a los 4 impares {1,3,5,7}

Alternativa C)

Fuente: DEMRE 2012

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Juegos de Azar Sencillos.

Desafío - Probabilidad

En un juego se tienen 4 fichas como las siguientes:

Se tiran dos dados y se suman los puntajes; la ficha ganadora es aquella que contenga esta suma.

¿Cuál de estas fichas tiene mayor probabilidad de ganar?

A) la 1
B) la 2
C) la 3
D) la 4
E) Todas tienen igual probabilidad de ganar.

Respuesta:

Revisemos la matriz de resultados con los pares ordenados (primer dado, segundo dado)

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Si analizamos todos los resultados, podemos ver todos los casos en cada una de las sumas posibles. OJO que no puede haber suma 1, porque al menos en los dos dados salen un 1 y otro 1, o sea el par (1,1):

Suma 2: (1,1) : 1 caso

Suma 3: (1,2) (2,1) : 2 casos

Suma 4 : (1,3) (2,2) (3,1) : 3 casos

Suma 5 : (1,4) (2,3) (3,2) (4,1) : 4 casos

Suma 6 : (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) : 5 casos

Suma 7 : (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) : 6 casos

Suma 8 : (2,6) (3,5) (4,4) (5,3) (6,2) : 5 casos

Suma 9 : (3,6) (4,5) (5,4) (6,3) : 4 casos

Suma 10 : (4,6) (5,5) (6,4) : 3 casos

Suma 11 : (5,6) (6,5) : 2 casos

Suma 12 : (6,6) : 1 caso

Nótese que: 1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1 = 36 (los casos totales)

Así para cada una de las fichas:

Ficha sumas 1,3,5 : 2+4 = 6 casos

Ficha sumas 2,4,8 : 1+3+5 = 9 casos

Ficha sumas 6,9,10 : 5+4+3 = 12 casos

Ficha sumas 7,11,12: 6+2+1 = 9 casos

La ficha que tiene más altas posibilidades es la de sumas: 6,9,10 (Ficha 3), alternativa C)

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Fuente: Matemática 2do. medio - Cid Figueroa E.
NEM: segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: Probailidad, Ley de Lpalace, Juegos Azar Sencillos.

Desafío - Probabilidad

Al ordenar las cajas de mayor a menor según la probabilidad de extraer una ficha verde, resulta:

A) I - II - III
B) II - I - III
C) III - I - II
D) II - III - I
E) I - III - II

Respuesta:

Caja I : PROBABILIDAD DE verde: 3/4 = 0,75

Caja II : PROBABILIDAD DE verde: 3/5 = 0,6

Caja III : PROBABILIDAD DE verde: 4/6 = 2/3 = 0,666666....

Mayor: Caja 1

Medio: Caja 3

Menor: Caja 2

I - III - II , Alternativa E)

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Fuente: Matemática 2do. medio - Cid Figueroa E.
NEM: segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: Juegos de Azar Sencillos, Ley de Laplace.

Desafío - Probabilidades

Si se tiran dos dados, ¿Cuál es la probabilidad de que las puntuaciones difieran en 1?

A) 5/12
B) 5/36
C) 10/12
D) 10/36
E) 1/6

Respuesta: Pensemos que ponemos en un par ordenado, los resultados de la siguiente manera:

(resultado primer dado, resultado segundo dado)

Vamos a escribir todos los posibles pares ordenados: OJO que hay 36 posibilidades TOTALES

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Señalados en AZUL y ROJO están las 10 combinaciones en que la diferencia entre los dados es 1.

Probabilidad pedida = 10 / 36 = 5 /18

Alternativa D)

Fuente: Matemática 2do. medio - Cid Figueroa E.
NEM: segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.
CMO: Juegos de Azar Sencillos, Ley de Laplace.

Desafío - Probabilidades

¿ Cuál es la probabilidad de obtener 7 ó 5 al lanzar simultáneamente dos dados?

A) 5/18
B) 5/36
C) 4/9
D) 2/9
E) 1/3

Respuesta: Pensemos que situamos en un par ordenado los puntajes de cada uno de los dados lanzados, en el estilo (primer dado, segundo dado)

Formemos todas las parejas de suman 7 al lanzar dos dados:

(1,6) - (2,5) - (3,4) - (4,3) - (5,2) - (6,1) : 6 en total

Formemos ahora todas las parejas que suman 5 al lanzar dos dados:

(1,4) - (2,3) - (3,2) - (4,1) : 4 en total

6 + 4 = 10

HAY 10 casos FAVORABLES !!!!

Son Diez casos favorables y 36 casos totales, pues el primer dado tiene 6 posibilidades y el segundo también, luego por el principio Multiplicativo son 6x6 en total = 36.

Según la LEY de LAPLACE, la probabilidad pedida es:

Probabilidad (de 5 o 7, en la suma del lanzamiento de 2 dados)=
=casos favorables/total de casos= 10 /36 = 5/18

Fuente: CEPECH
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Juegos de azar sencillos. Ley de Laplace.

Desafío DEMRE 2004

¿ Cuál es la probabilidad de que al lanzar 3 monedas, simultáneamente, 2 sean caras y una sello ?
A) 3/8
B) 1/8
C) 2/8
D) 1/3
E) 2/3

Solución propuesta: ya viene .....

Primera Solución: Podríamos escribir todas las combinaciones posibles, que se producen al lanzar tres monedas simultáneamente:

Ahora resaltemos aquellas soluciones que son favorables a lo que pide el problema: De donde son tres los casos posibles, que puestos como vectores son:
(Primer lanzamiento, Segundo lanzamiento, Tercer lanzamiento): (C,C,S) ; (C,S,C) ; (S,C,C)

Y son ocho los resultados totales (2 elevado a 3)

Por tanto, de acuerdo a la ley de Laplace, la solución correcta es: 3/8
La alternativa correcta es la A)

Segunda Solución: Esto se pudo haber visualizado con un diagrama de árbol:

resaltados están los tres casos en que hay dos caras y un sello .... la probabilidad pedida nuevamente es 3/8.

Tercera Solución: Las combinaciones resultantes de lanzar 3 monedas simultáneas están relacionadas con la línea relativa al cubo del binomio en el Triángulo de Pascal (o de Tartaglia):

O lo que es lo mismo, las combinaciones están dadas por la expansión del teorema del binomio, para el caso de un binomio al cubo, veamos:

Tres son los casos favorables nuevamente, 8 son los casos totales nuevamente y nuevamente la altermnativa correcta es la A) 3/8

Queda enteramente resuelto!

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Fuente: DEMRE 2004.
NEM: Segundo Medio, Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Probabilidad Teórica, Ley de Laplace, Relación con el Triángulo de Pascal, Juegos de Azar Sencillos, Representación de resultados, Diagramas de árbol, Teorema del Binomio.