Desafío - Lanzamiento de pelota (Resuelto)

Respuesta:

Esta es una parábola con sus ramas abiertas hacia abajo, ello porque el signo del factor que acompaña a la variable al cuadrado es negativo.

Los dos ceros se producen cuando hacemos y = 0, y si factorizamos de inmediato tenemos:

t(-5t + 10) = 0
despejando:
t = 0 ; t = -10/-5 = 2

Es decir, la pelota está en el suelo (altura cero) a los 0 y 2 segundos.

Como la parabóla es simétrica, el máximo será en (0+2)/2 = 1 segundo, en el punto medio entre los dos ceros.

Cuando t=1, la altura será: y=1(-5(1)+10) = 5 metros.

Alternativa C)

Fuente: Texto Ejercicios PSU - U.Católica.
NEM: tercero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática/Ecuación Cuadrática (Resuelto)

De las siguientes aseveraciones, ¿Cuál es VERDADERA?

A) El vértice de toda parábola es el mínimo de esta.
B) El discriminante es el valor de la primera coordenada del vértice.
C) La Ecuación de Segundo Grado tiene por soluciones al máximo y al mínimo de la parábola.
D) Las raíces de la función cuadrática son las raíces cuadradas de los coeficientes a,b y c.
E) La abcisa del vértice es igual a la semisuma de las raíces de la ecuación cuadrática.

Respuesta: Como siempre, veamos una a una las aseveraciones de arriba:

A) FALSA: cuando la concavidad es hacia arriba, el vértice coincide con el máximo: NO siempre es el mínimo ....

B) FALSA: Abcisa del Vértice = -b/(2a) = (x1 + x2)/2

Acá nada que ver el Discriminante!

C) FALSA: Incluso a veces, habiendo ó mínimo o máximo NO hay solución .... Tampoco puedo pensar en que una sóla parábola tenga a la vez máximo y mínimo ....

D) FALSA: Es una combinación que incluye los tres elementos (coeficiebtes) : a, b, c ; pero no algo tan simple como sus raíces cudradas .... y si alguien lo cree así, tendríamos tres respuestas y deben haber sólo 2 ....

Las respuestas o soluciones de una cuadrática en función de los coeficientes a,b, y c están dadas por la fómula de Bhaskara:

E) VERDADERA: Efectivamente la abcisa del vértice es:

Abcisa del Vértice = -b/(2a) = (x1 + x2)/2 ; es decir, la semisuma de las raíces o soluciones.

Fuente: Variación Texto 3ro. Medio Santillana/MINEDUC 2011
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: Álgebra.
CMO: Función Cuadrática / Ecuación Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática

Respuesta: Tenemos 3 condiciones para encontrar la Función Cuadrática que depende de 3 parámetros: "a", "b" y "c". Veamos:

Pero nos pedían encontrar el mínimo, todavía falta un poco para esa respuesta:

Alternativa D)

Fuente: PreU. P. Valdivia.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: Tercreo Medio.
CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática

Respuesta:

I) FALSA.

Vértice: { (x1+x2)/2 ; f((x1+x2)/2) }

x1 = -3 ; x2 = 4, luego: (x1+x2)/2 = (-3+4)/2 = 1/2
Luego, (0,12) no puede ser el vértice puesto que la abcisa debe ser 1/2.

II) VERDADERA

La Ecuación que lleva a esas raíces es: (x+3)(x-4) = 0

III) FALSA

Por la respuesta de I), el eje de simetría es: x = 1/2.

Fuente: PreU. P. Valdivia.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: Tercreo Medio.
CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática

La Función Cuadrática cuya parábola tiene vértice (2,-3) es:

Respuesta: Alternativa C)

Una función Cuadrática de la forma:

Fuente: Faccímil PSU P.Valdivia
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Función Cuadrática

Desafío - Ecuación Cuadrática

Respuesta: Esta es una parábola con sus ramas abiertas hacia arriba ("a" mayor que cero) , por lo tanto es correcto hablar de punto mínimo, cuyas coordenadas están dadas por las coordenadas del vértice de la parábola:

Vértice de la parábola = ( -b/2a , f(-b/2a) )

a =  3
b = -7
c = 1

Vértice de la parábola :

La alternativa correcta es la B)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.
NEM. Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuación Cuadrática.

Desafío - Coordenadas del Vértice

¿Cuál es el vértice de la anterior parábola?

A) (-1,6)

B) (1,2)

C) (1,3)

D) (1/2, 9/4)

E) (1,-2)

Respuesta: Sabemos que el vértice de una parábola tiene las coordenadas:

Vértice = (Xv , Yv) = ( -b/2a , f(-b/2a) )

a= 1 ; b= -2 ; c = 3

Xv = - ( -2) / { (2)(1)) = 2/2 = 1

Yv = (1)(1) - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2

Luego: Vértice = (Xv, Yv) = (1,2) ; Alternativa B)

Fuente: Texto de Autopreparación - Eduardo Cid Figueroa.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Cuadrática. Coordenadas del Vértice.

Desafío - Vértice de Parábola

En la función anterior, las coordenadas del vértice son:

A) (-1/2 ; -4)

B) (2 ; -4)

C) (1/2 ; -4)

D) (2 ; 4)

E) (-1/2 ; 4)

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Parábola, FuncióN Cuadrática.

Desafío - Función Cuadrática

Respuesta:

La fórmula del vértice es un par ordenado (Xv,Yv) donde la abcisa es Xv=-b/2a, y está escrita en términos de los coeficientes (numéricos) de la ecuación cuadrática. La ordenada se obtiene evaluando la abcisa en la parábola (en su ecuación), es decir: Yv= f(Xv) = f(-b/2a).

Acá:

a = 2 ; b=0 ; c= -1

luego,

Xv = -0/((2)(2)) = 0/4=0

Yv = f(Xv) = f(0) = -1

Luego, el vértice de la parábola es: (Xv, Yv) = (0,-1) ; Alternativa B)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Parábola

Respuesta:

Alternativa E)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

COMO: Coordenadas del Vértice.

Desafío - Parábola

En la figura se muestra el gráfico de la función f(x)=(x+1)(x-3). Entonces las coordenadas del vértice V son:

A) (-1,-4)

B) (2,-3)

C) (4,-5)

D) (-2,-3)

E) (1,-4)

Respuesta: Sabemos, por la simetría de la parábola que Xv=(x1+x2)/2, donde Xv es la abcisa del vértice y x1 y x2 son las raíces. En este caso las raíces son x1=-1 y x2=3, de igualar f(x) a cero, es decir, de hacer (x+1)(x-3)=0.

Luego Xv=(-1+3)/2=1

Yv = f(Xv)= f(1) = (1+1)(1-3)=(2)(-2)=-4

Las coordenadas del vértice son: (1,-4) ; Alternativa E)

Fuente: PreuU. P. de Valdivia.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Parábola.

Desafío - Vértice de la Parábola

Respuesta: El vértice de la parábola queda en las coordenadas: { -b/(2a) ; f ( -b/(2a) ) }

-b/2a = -(-6)/{(2)(1)} = 6/2 = 3

Y luego evaluando en la función: (3)(3) - 6(3) + 4 = 9 - 18 + 4 = 13 - 18 = -5

El vértice es: (3,-5) ; Alternativa D)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Parábola.

Desafío - Eje de Simetría Parábola

La ecuación del eje de simetría de la parábola anterior es:

A) x-3=0
B) x-5=0
C) x-2=0
D) x+5=0
E) x+5=0

Respuesta:

Si miramos el LINK señalado más abajo, podemos constatar de que el eje de simetría de la parábola tiene por ecuación:

x = -b/2a

donde a, b son los factores de la Forma Principal de la Función Cuadrática:

Por lo tanto: Trabajamos la expresión de la función cuadrática para lograr los factores a,b,c qye nos permitirán encontrar el eje de simetría.

De este desarrollo se infiere que:

a = 3 (de este coeficiente sebamos que la parábola está con sus ramas abiertas hacia arriba)

b = -30

c = 77 (aunque este dato no es necesario)

La ecuación del EJE de SIMETRIA es:

x = -(-30) / (2)(3) = 30/6 = 5

x = 5 ,

x - 5 = 0 ; Alternativa D)

OTRA FORMA de VERLO: si observamos la función:

Podemos ver que esta tiene un mínimo cuando x=5, porque con cualquier otro valor, el interior del paréntesis NO se hace cero y el cuadrado de una cantidad distinta de cero es siempre positivo.

Luego, si x=5 es la abcisa del vértice, x=5 es la ecuación del EJE de Simetría.

Fuente: Faccímil PreUniversitario U.Católica

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Cuadrática.

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Eje de Simetría Parábola. Vértice de la Parábola.

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Eje%20Simetr%C3%ADa%20Par%C3%A1bola