Desafío - Rectas Perpendicualares - 1ro. Medio - Resuelto

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 Respuesta:

Fuente: DEMRE

NEM: 1ro. Medio.

Eje Temático: Álgebra y Funciones.

CMO: Perpendicularidad de la Recta.

Desafío - Ecuación de la recta (Resuelto)

¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y es perpendicular a la recta x-2y+1=0

A) 2x+y-7=0
B) 2x+y+7=0
C) x-2y+4=0
D) x+2y-8=0
E) 2x-y-1=0

Respuesta:

Si es perpendicular a la recta x-2y+1=0, tenemos que ver primero cuál es la pendiente de esta recta:
La ponemos como Ecuación Principal:
x+1 = 2y
(1/2)x + 1/2 = y
Luego la pendiente es m=1/2
Por tanto, cualquier recta perpendicular a esta debe tener mendiente -2, pues (-2)(1/2) = -1

Entonces la nueva recta es: una que pasa por (2,3) y cuya pendiente es -2

y - 3 = -2(x-2)
y - 3 = -2x + 4
2x + y -7 = 0

Alternativa A)

Fuente: Texto 2do. Medio. Eduardo Cid.
NEM: Tereero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Función Afín.

Desafío - Rectas (Resuelto)

La ecuación (2-k)x + 3y – 4 = 0 representa una recta perpendicular a la recta cuya ecuación es -6x+y-9=0. 

¿Cuál es el valor de k?

A) 20 ; B) 3/2 ; C) 8 ; D) 7/2 ; E) 13/6

Respuesta:

Busquemos la pendiente de la recta: -6x + y - 9 = 0
para ello despejamos "y":
y = 6x + 9
Su pendiente m = 6

Luego, la pendiente de la primera recta: (2-k)x + 3y - 4, debe ser igual a (-1/6), pues por condición de perpendicularidad, una recta es perpendicular a otra de pendiente "m", cuando su pendiente es igual a (-1/m), para que el producto de las dos pendientes sea igual a -1.

Veamos entonces la pendiente de la primera recta:
(2-k)x + 3y - 4 = 0
despejemos "y":
3y = -(2-k)x + 4
3y = (k-2)x + 4
y = (1/3)(k-2)x + 4/3
La pendiente es: (k-2)/3

Luego: (k-2)/3 = -1/6
6(k-2) = 3(-1)
6k - 12 = -3
6k = -3 + 12
6k = 9
k = 9/6 = 3/2

Alternativa B)

Fuente: DEMRE
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Ecuación de la Recta.

Desafío - Rectas (Resuelto)

Respuesta:

Veamos primero, para de allí sacar la pendiente que debe tener L1. 
(Porque OJO: de L1 sólo conocemos un punto: (2,0))
Ecuación por trazo para L2:
x/5 + y/4 = 1
Multiplicamos por 20, para sacar denominadores:
4x + 5y = 20
5y = -4x + 20
y = (-4/5)x + 4
La pendiente de L2 es -4/5

Luego: L1, para ser perpendicular debe tener pendiente (5/4), porque se debe cumplir que (-4/5)(5/4) = -1

Entonces, L1 está caracterizada por la pendiente m= 5/4, y por pasar por el punto (x1,y1) = (2,0)

Usando la Ecuación Punto-Pendiente: y-y1 = m(x-x1)

y - 0 = (5/4)(x-2)
y = 5/4(x-2)

Alternativa B)

Fuente: DEMRE
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Geometría Analítica. Rectas en el Plano Cartesiano.

Desafío 14 - Paralelas Cortadas por Transversal (Problema Resuelto)

Respuesta: veamos por qué es la alternativa C)

Desafío - Rectas

Sean las tres rectas:
R1: x - 2y + 1 = 0
R2: 2x + y - 3 = 0
R3: -2x + 4y -3 = 0

¿ Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ?

I) R1 es perpendicular a R2
II) R2 es perpendicular a R3
III) R1 es paralela a R2

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) Sólo III

Respuesta: tendremos que poner cada una de las recta acorde a la ecuación principal: y = mx + n

R1: y = (1/2)x + 1/2
R2: y = 2x - 3
R3: y = (-1/2)x - 3/4

R2 es perpendicular a R3; Sólo II ; Alternativa B)

Fuente: Edo. Cid Figueroa - Texto PSU Matemáticas.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría Analítica.

Desafío - Rectas

Respuesta: Escribamos las tres ecuaciones en su "Forma Principal",

es decir, en el estilo: y = mx+n

L1: y = 2x + 2

L2: y = -x

L3: y = (-1/2)x + 3/4

Sólo es verdadera la III; Alternativa D)

Fuete: texto 2do. medio - Eduardo Cid Figueroa.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Recta.

Desafío - Rectas Perpendiculares

¿ Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la de una recta perpendicular a la recta de ecuación 8x + 6y = 5 ?

A) 3x - 4y = 5

B) y = 1 - (3/4)x

C) y = (4/3)x + 2

D) 4x+ 3y = 2

E) y = (4/3)x

Respuesta: Veamos paso a paso:

1) Buscamos la pendiente a la recta: 8x + 6y = 5

6y = -8x + 5

y = (-8/6)x + 5/6

y = (-4/3)x + 5/6, de acá la pendiente es -4/3 (factor que acompaña a x en el despeje)

La recta que SEA perpendicular a la anterior recta, necesariamente debe tener pendiente: 3/4, para que (3/4)(-4/3) = -1

Eso sucede en la alternativa A)

veamos: Ecuación de Alternativa A): 3x - 4y = 5

despejando: 3x - 5 = 4y

luego: (3/4)x - 5/4 = y

Alternativa A)

Fuente: Manual PSU - U.Católica

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Geometría Analítica. Rectas Perpendiculares.

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Link Al Diccio-Mates

Concepto: Rectas Perpendiculares.

Link: http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Recta%20Perpendicular

Desafío - Geometría Espacial

En la figura, OPQR y ORST son cuadrados de lado 4. ¿Cuánto mide el trazo que une los centros de gravedad de ambos cuadrados?

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente: DEMRE.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Geometría del Espacio.

Desafío - Rectas Perpendiculares

Las rectas de ecuaciones:

(1) x - 4y = 8
(2) 2x + ty = 1

Son perpendiculares si:

A) t=1/2
B) t=-1/2
C) t=2
D) t= -2
D) t= -8

Respuesta: Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es -1. Despejamos las pendientes en cada una de ellas:

(1) x-4y = 8 .... Implica: x/4 - 2 = y .... Implica: m1= 1/4

(2) 2x + ty = 1 .... Implica: -2x/t +1 = y .... Implica: m2= -2/t

Luego la condición es que (m1)(m2) = -1

(1/4)(-2/t) = -1

-2/4t = -1

t=4/2

t=2; Alternativa C)

Fuente: PSU Matemáticas - MN/P.Valdivia
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: perpendicularidad entre rectas.

Desafío - Rectas Perpendiculares

La ecuación (2-k)x + 3y - 4 = 0

representa una recta perpendicular a la recta suya ecuación es:

-6x + y - 9 = 0

¿ Cuál es el valor de k ?

A) 20

B) 3/2

C) 8

D) 7/2

E) 13/6

Respuesta: Dos rectas son perpendiculares sin el producto de sus pendientes es igual a menos 1.

Para ello debemos despejar cada una de las pendientes:

Ecuación 1: (2-k)x + 3y - 4 = 0

3y = (k-2)x + 4

y = ((k-2)/3)x + 4/3

Ecuación 2: -6x + y - 9 = 0

y = 6x + 9

Luego: ((k-2)/3) (6)=-1

(k-2)2=-1

2k - 4 = -1

2k = 3

k=3/2, Alternativa B)

Fuente: DEMRE

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Ecuación de la recta.

Desafío - Geometría Analítica

La Ecuación de una recta L1 está dada por

3y + 4x + 2 = 0,

determinar el valor de la pendiente de una recta L2, para que sea perpendicular a L1:

A) 4/3

B) -4/3

C) 3/4

D) -3/4

E) 2/3

Respuesta: Mejoremos la respuesta que nos dejó Totoxa en los COMENTARIOS!

Depejamos: 3y= -4x - 2
y=-4x/3-2/3

la pendiente es m1= -4/3

Para que sera perpendicular a L1 el producto de sus pendientes debe ser -1

(m1)(m2) = -1

(-4/3)(m2)=-1

m2 = -1/(-4/3)= 3/4

Alternativa C)

Fuente: Faccímil 13 - Editorial Universitaria.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: c. Ecuación de la Recta.

Desafío - Rectas Perpendiculares

¿ Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde a la de una recta perpendicular a la recta de ecuación: 8x + 6y = 5 ?

A) 3x - 4y = 5

B) y = 1 - (3/4)x

C) y = (4/3)x + 2

D) 4x + 3y = 2

E) y = (4/3)x

Respuesta: Para encontrar la pendiente de la recta dada, debemos despejar la variable "y" (dependiente):

8x + 6y = 5

6y = -8x + 5

y = (-8/6)x + 5/6

y = (-4/3)x + 5/6

Luego la pendiente de esta recta es -4/3, la pendiente de cualquier paralela debe ser 3/4, para que al multiplicar ambas pendientes de como resultado -1) : (-4/3)(3/4) = -1.

Vamos a ir despejando cada una de las ecuaciones hasta encontrar una opendiente de 3/4:

A) 3x - 4y = 5, despejamos:

3x - 5 = 4y

(3/4)x - 5/4 = y

Esta es la correcta, Alternativa A)

Fuente: Manual PSU - U.Católica.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Geometría Analítica. Ecuación de la Recta.

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Rectas Perpendiculares

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Recta%20Perpendicular

Desafío - Perpendicularidad de Rectas

La Ecuación de la recta L2 está dada por y+mx+3 = 0

¿Cuál debe ser el valor de m, para que las rectas l1 y l2 setén representadas en el gráfico?

A) 1/3
B) -1/3
C) 3
D) -3
E) 2

Respuesta: L2 debe ser perpendicular a L1

L1 está determinada. Pensamos en la Ecuación por segmentos (buscar en etiquetas del blog):

x/6 + y/2 = 1

Multiplicamos por 6

6(x/6) + 6(y/2) = 6

x + 3y = 6

3y = -x + 6

y= (-1/3)x +2

Luego la pendiente de L1 es = m1 = -1/3

La pendiente de L2 debe ser =m2= 3, para que:

(m1) = -1/(m2)

En la ecuación: y + mx + 3 = 0

y = -mx -3

-m = 3

m= -3

Alternativa D)

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Fuente: Ensayo PSU - Labbé Díaz Claudio - 2004 - Forma 2
NEM: segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Ecuación de la Recta. Condición de Perpendicularidad.