Desafío - Proporcionalidad (Resuelto)

La docena de manzanas cuenta $ 1.200, 
¿Cuánto hay que pagar por 54 manzanas?

A) $ 3.240 ; B) 3.600 ; C) 4.800 ; D) 5.400 ; E) 6.000

Respuesta:

(Cantidad de Manzanas) y (Precio) son dos variables o magnitudes vinculadas en proporcionalidad directa. Es decir, a MÁS manzanas, MAYOR será el precio. Por tanto, el vínculo entre ellas es a través de un cuociente que se mantiene constante:

Nro. Manzanas/Precio = Cte.

12/1.200 = Cte. = 54/x

Multiplicacmos Cruzado (Propiedad Fundamental de Proporciones)

(12)(x) = (1.200)(54)

12x = 64.800
x = 64.800/12 = $ 5.400 pesos

Alternativa D)

Ver Link: Proporcionalidad Directa

Fuente: Cuadernos Ejercicios - PSU Mates - PUC

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I.) Números.

CMO: Proporcionalidad.

Desafío - 16 - DEMRE - Recopila fmat (Problema Resuelto)

16: La razón entre dos números es 2:3 y la diferencia entre ellos es 45, ¿Cuánto vale el menor de los números?

Respuesta:

Sean x e y esos números. 

Digamos que x es el mayor (*), 

del enunciado tenemos 2 ecuaciones:

1) x - y = 45

2) y:x = 2:3

Noten que en 2), "x" se asocia al consecuente de la fracción porque éste es mayor, en coherencia con lo que dijimos en (*)

Multiplicamos cruzado y despejamos x, porque nos preguntan el menor de ambos números:

2')  3y = 2x

2'') 3y/2 = x

; reemplazamos esta verdad en la ecuación 1)

1') 3y/2 - y = 45 ; Multiplicamos por 2 toda la ecuación:

3y - 2y = 90

y = 90

Fuente: PSU DEMRE - Recopila fmat

NEM: Primero Medio
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Razones y Proporciones.

Desafío - Proporcionalidad

Por 18 Kg de pan, una persona paga $ p. ¿Cuánto pagará por la compra de 6 Kg menos de pan?

A) $ 2p ; B) $ 2p/3 ; C) $ p/3 ; D) $ 3p/2 ; E) $ (p-6)

Respuesta:

Esta es una relación de Directa Proporcionalidad: "A más Kg de pan, mayor precio"


Los pares (18 Kg , p ) y ( 12 Kg, x) 
forman una proporción en relación DIRECTA:


18 / p = 12 / x


Multiplicando cruzado:


18 x = 12 p


x = (12/18)p = (2/3)p = 2p/3


Alternativa B)

Fuente: PSU - SM
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Proporcionalidad.

Desafío - Geometría

Respuesta: 

Si uno mira el triángulo ABC, el trazo BC es mayor que AB .... y en la imagen del triángulo FDE, el trazo FD es menor que el trazo FE .... los triángulos están "desordenados en la imagen".

Construimos una proporción, que siga el orden de los vértices dado por la relación de semejanza. La idea es que se mantenga el orden de los vértices, tal como están secuenciados en "ABC" y "FDE".

Construimos una proporción que incluya 3 términos conocidos y un cuarto que será la incógnita:

AC/FE = BC/DE

AC/10 = 9/6

AC = 10(9/6) = 15 ; 

Alternativa D)

Fuente: Faccímil Editorial Universitaria-Revisa DEMRE
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Semejanza.

Desafío 5 - DEMRE 2012

Si la variable "a" es a la variable "b" como 7 es a 12, ¿Cuál de las siguientes igualdades es siempre verdadera?

A) a+b = 19
B) ab = 84
C) b-a = 5
D) 12a - 7b = 0
E) 12a + 7b = 0

Respuesta: "a" es a "b" como 7 es a 12, plantea una proporción:

a/b = 7/12
12a = 7b
Luego agrupando a la izquierda:
12a - 7b = 0

Alternativa D)

Fuente: DEMRE 2012
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.
CMO: Proporciones.

Desafío - Teorema de Thales

Respuesta: No olvidamos que cuando tenemos una proporción (igualdad entre dos razones) podemos multiplicar cruzado (productos de los extremos = producto de los medios).

En los comentarios preguntan: ¿Por qué pongo 15 si en el dibujo sale sólo 5?

Respuesta:

La proporción que se muestra, es aquella entre los lados correspondientes de 2 triángulos. El lado 10 es al lado 6, en el triángulo chico; como el lado (10+5) es a x, en el triángulo más grande.

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: teorema de Thales.

Desafío - Probabilidades

Una urna contiene 20 bolitas entre rojas y azules. Si la probabilidad de extraer una bolita azul es de 0,2, entonces, ¿Cuántas bolitas son rojas?

A) 16

B) 12

C) 10

D) 8

E) 4

Respuesta: P(AZUL) = (Nro. Azules)/20 = 0,4

Entonces:

Nro. Azules = 4

Luego las rojas son 16, Alternativa A)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.

CMO: Probabilidad. Regla de Laplace.

Desafío - Ecuación Primer Grado

Alternativa E)

Fuente: Faccímil PSU - La Nación 2009

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Primer Grado.

Desafío - Ecuación Exponencial

Si:

Entonces m=?

A) 0

B) 1

C) 16

D) 19

E) 20

Respuesta:

Fuente: Faccímil PreU. Universidad Católica.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Exponencial

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Ecuación Exponencial

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Ecuación%20Exponencial

Desafío - Razones y Proporciones

Una familia está integrada por el padre, la madre y el hijo. Si la razón entre las edades de la madre y el padre es 2:3 y la del hijo con la madre es 1:5, ¿Cuál es la razón entre las edades del padre y el hijo respectivamente?

A) 2:10

B) 10:3

C) 15:2

D) 3:10

E) 2:15

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: Faccímil 13 - Editorial Universitaria.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.

CMO: Razones y Proporciones.

Desafío - Teorema de Thales

El valor que debe tener x en la figura, para que las rectas L1, L2 y L3 sean paralelas es:

A) 11
B) 0
C) 22
D) 2
E) 1

Respuesta: Por el Teorema de Thales podemos establecer la siguiente proporción:

La anterior es una ecuación incompleta de segundo grado que nos llevó a un producto igual a cero. Para que ello ocurra, cada una de los factores puede ser igual a cero ....

De aquí emergen dos raíces:

x= 0

x= 11

Como se involucra una medida física, nos sirve la raíz 11. Alternativa A)

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Fuente: Proyecto PSU Matemáticas - Zig Zag.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Gometría.
CMO: b. teorema de Thales.