Desafío - Rectas en el Plano (Resuelto)

Respuesta:

Lo que conviene aquí es escribir la ecuación de la recta dada: 6x + 3y - 8 = 0, en su FORMA PRINCIPAL:

6x + 3y - 8 = 0
Tratamos de aislar la "y" (Variable dependiente)
3y = -6x + 8
Luego divisimos por 3 a ambos lados de la ecuación:
y = (-6/3)x + 8/3
y = -2x + 8/3

Para que otra recta sea paralela a esta, deberá tener la misma pendiente m=-2

Eso ocurre sólo en la alternativa E)

Fuente: Tercero Bicentenario Santillana.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Rectas en el Plano.

Desafío - Teorema de Thales

Desafío - Rectas Paralelas

Dos rectas L1 y L2 son paralelas si:


(1) Son paralelas al eje de abcisas.
(2) Tienen igual pendiente.


A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información Adicional.


Respuesta:


Veamos una a una las sentencias:


(1) Si dos rectas son paralelas a una tercera, son paralelas entre sí. VERDADERA!


(2) Si dos rectas tiene igual pendiente, entonces son paralelas. VERDADERA!


Fuente: Ediciones mn - 2do Medio - PSU
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Condición de Paralelismo.

Desafío - Determinación de un Plano

Tema: Planos en el espacio, determinación por tres puntos no colineales. 


Un plano, en el espacio, queda completamete determinado por:


I) Tres puntos no colineales (no alineados)
II) Una recta y un punto exterior a dicha recta.
III) Dos rectas secantes.
IV) Dos rectas paralelas.


¿ Son (es) verdadera(s) ?


A) Sólo I y III
B) Sólo II, III y IV
C) Sólo II y IV
D) Sólo I, III y IV
E) Todas.


Respuesta: Todas las alternativas son verdaderas. Veamos:


I) VERDADERA. 3 puntos determinan un plano, por eso es que las mesas de 3 patas, si el suelo no tiene agujeros, siempre están equilibradas y firmes.


Las otras: II), III) y IV) son simples variaciones, otras formas de lograr esos 3 puntos.


II) VERDADERA: La recta nos provee de 2 puntos cualesquiera que elijamos en ella, el tercer punto lo da el punto exterior a la recta.
III) VERDADERA: Una de las dos rectas nos da los dos puntos cualesquiera que escojamos en ella y tomamos el tercer punto perteneciente a la otra recta, la que la seca (corta).
IV) VERDADERA: Dos puntos cualesquiera los tomamos de la primera recta y de la paralela tomamos el tercer punto, uno cualquiera en ella ....


Alternativa E) .... Todas están buenas!


Fuente: Libro Ejercicios PSU - U.Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Determinación del Plano. Estereometría.

Desafío - Geometría Espacial

Respuesta:

Alternativa D)


Fuente: DEMRE
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría del Espacio.

Desafío - Rectas

Sean las tres rectas:
R1: x - 2y + 1 = 0
R2: 2x + y - 3 = 0
R3: -2x + 4y -3 = 0

¿ Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas ?

I) R1 es perpendicular a R2
II) R2 es perpendicular a R3
III) R1 es paralela a R2

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) Sólo III

Respuesta: tendremos que poner cada una de las recta acorde a la ecuación principal: y = mx + n

R1: y = (1/2)x + 1/2
R2: y = 2x - 3
R3: y = (-1/2)x - 3/4

R2 es perpendicular a R3; Sólo II ; Alternativa B)

Fuente: Edo. Cid Figueroa - Texto PSU Matemáticas.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría Analítica.

Desafío - Rectas

Respuesta: Escribamos las tres ecuaciones en su "Forma Principal",

es decir, en el estilo: y = mx+n

L1: y = 2x + 2

L2: y = -x

L3: y = (-1/2)x + 3/4

Sólo es verdadera la III; Alternativa D)

Fuete: texto 2do. medio - Eduardo Cid Figueroa.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Recta.

Desafío - Rectas Paralelas

¿ Cuál debe ser el valor de K para que la recta de ecuación 6x + Ky -2 = 0, sea paralela a la recta de ecuación: 4x -6y - 7 = 0?

A) -9

B) -4

C) -1/9

D) 4

E) 9

Respuesta: Dos rectas son paralelas cuando sus pendiente son iguales .... despejamos ambas pendientes y las igualamos .... pero ojo, además los Y interceptos deben ser distintos, para que las rectas no sean coincidentes:

Primera Ecuación:

6x + Ky -2 = 0

Ky = -6x +2

y = (-6/K)x + 2/K

acá la pendiente es m1= -6/K

Segunda ecuación:

4x - 6y - 7 =0

-6y = -4x + 7

y = (-4/-6)x + 7/-6

acá la pendiente es m2 = 2/3

Luego igualamos: -6/K = 2/3

Multiplicamos cruzado: (-6)(3) = (K)(2)

-18 = 2K

K = -9, luego, así a primera vista la alternativa es A)

Si K = -9

n1 (Y intercepto de primera recta) es : 2/-9 = -2/9

y n2 (Y intercepto de la segunda recta) es : -7/6

Luego, con este K, las rectas son paralelas.

Fuente: Programa Focalizado - CEPECH 2010

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Geometría Analítica.

Desafío - Funciones

En relación a la Función: f(x) = 5x -2, es cierto que:

A) f(-1) = 3

B) La Expresión; { f(x) - f(1) }/(x-1) toma diferentes valores para diferentes valores de x, con x distinto de 1.

C) El gráfico de la función f es una recta que pasa por el origen.

D) El gráfico es una recta paralela al gráfico de y(x) = 5x.

E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta: Alternativa D)

Veamos una a una las alternativas:

A) f(-1) = 5(-1) - 2 = -5-2 = -7: entonces lo que propone es falso!

B) f(x) - f(1) = (5x - 2) - (5(1) - 2))=5x - 2 - (5-2) = 5x - 2 -3 = 5x - 5 = 5 (x-1)

Luego la expresión se transforma en:

{ f(x) - f(1) }/(x-1) = 5(x-1)/(x-1) = 5. No toma diferentes valores para diferentes valores de x, porque siempre vale 5: entonces lo que propone es falso.

C) NO pasa por el origen porque el Y-Intercepto es -2 (f(x)=5x-2).

Corta al eje ordenadas en (-2)

D) {f(x) = 5x - 2} y { y(x) = 5x } son dos rectas paralelas de pendiente m=5

E) Ya es verdadera la anterior, esta es FALSA!

Fuente: Texto 1ro. Medio - Bicentenario - Mc Graw-Hill (2010)

NEM: Segundo Medio (Programa sin Ajuste Curricular)

Eje Temátcio: I. Álegra y Funciones.

CMO: Funciones.

Desafío - Geometría Analítica

Le ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (5,-2) y que es paralela a la recta de ecuación 3x - 5y = 0 es:

A) 3x - 5y + 25 = 0

B) 3x - 5y -10 = 0

C) -3x + 5y -25 = 0

D) 3x - 5y + 25 = 0

E) 3x - 5y - 25 = 0

Respuesta: Para que sea paralela a la recta dada, deben tener la misma pendiente. Veamos esa pendiente:

3x - 5y = 0

3x = 5y

y= (3/5)x

Luego tenemos una pendiente: m = 3/5, y que la recta pasa por el punto (5,-2)

y - (-2) = (3/5)(x-5)

multiplicamos por 5 la ecuación:

5(y+2) = 3(x-5)

5y + 10 = 3x - 15

3x - 5y -25 = 0

Alternativa E), si no hubiese equivocaciones!

Fuente: Manual matemáticas PSU - U.Católica

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Geometría Analítica.

Desafío - Rectas Paralelas

La recta y = 3x - 5 es paralela con la recta:

A) y = (1/3)x + 5
B) y = (-1/3)x - 5
C) y = -3x - 5
D) y= 3x - 1/3
E) y = -3x - 1/3

Respuesta: Dos rectas son paralelas cuando tienen igual pendiente. Para saber la pendiente de una recta, debemos tenerla de la forma: y = mx + n, donde "m" es la pendiente.

Este ejercicio, en sus alternativas nos da esa facilidad, todas las rectas están dispuestas de la forma necesaria.

Pero sólo en alternativa D), la pendiente es la misma .... Alternativa D)

las rectas: (y = 3x - 5) y (y = 3x - 1/3) son PARALELAS.

Fuente: PreU. P. de Valdivia
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuación de la Recta. Rectas Paralelas.

Desafío - Ecuación de la Recta

En la figura anterior, la ecuación de L1 es: y + x = 5,

¿Cuál de las siguientes afirmaciones (es) son verdadera(s)?

I) L1 // L2

II) La Ecuación de L2 es: y= -x + 3

III) Ambas rectas tienen igual inclinación respecto del eje x.

A) Sólo I.

B) Sólo I y II.

C) Sólo I y III.

D) Sólo II y III.

E) I, II y III.

Respuesta:

L1 : x+y=5,

L2 : x+y=3 (o lo que es lo mismo: ecuación por trazos: x/3 + y/3 = 1)

Trabjando ambas:

L1: y = -x + 5

L2: y = -x + 3 ; Entonces II) es verdadera!

Ambas poseen la misma pendiente, por tanto son paralelas, I) es verdadera.

y III) es verdadera, porque si tienen la misma pendiente, entonces poseen la misma inclinación respecto del eje OX (o de abcisas).

I), II), III) son verdaderas! Alternativa E)

Fuente: DEMRE.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Ecuación de la Recta.

Desafío - Geometría Analítica

Una recta que contiene al punto (3,2), intersecta al eje de las ordenadas en el punto 1.

Otra recta paralela a la anterior contiene el punto (3,3).

¿ En qué punto la segunda recta intersecta al eje de las ordenadas?

A) 0

B) 1

C) 2

D) 3

E) 4

Respuesta: La primera recta tiene las coordenadas: (3,2) y (0,1): Y- Intercepto. La pendiente de esta recta es:

Pendiente: (Delta Y)/(Delta X) = (Y2-Y1)/(X2-X1)= (1-2)/(0-3)= -1/-3 = 1/3

Luego la paralela debe tener la misma pendiente y pasar por el punto (3,3)

Esta recta es por la ecuación Punto-Pendiente:

y -3 = (1/3)(x-3) /Amplificando por 3

3y - 9 = x-3

3y = x+6

y= (1/3)x + 2 ; 2 es y-intercepto; Alternativa C)

Fuente: Faccímil PSU - La Nación 2009

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación de la Recta.

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Link al Diccio-Mates:

Concepto: Ecuación de la Recta x 2 puntos:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Ecuación%20Recta%20por%202%20Puntos%20dados

Concepto: Ecuación de la Recta Punto Pendiente:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Ecuación%20Punto%20Pendiente