Desafío - Sistemas de Ecuaciones (Resuelto)

Respecto de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, diga cuál de las siguientes aseveraciones es FALSA:

A) La solución de un sistema de ecuaciones se presenta por el punto de intersección de las dos rectas en el plano.
B) Un sistema de ecuaciones se puede resolver o estimar su solución, mediante un dibujo.
C) La existencia y unicidad de las soluciones de un sistema depende de la posición relativa de sus gráficas en el plano.
D) Existen sistemas de ecuaciones para los que es recomendable usar incógnitas auxiliares.
E) Un sistema de ecuaciones sin solución se representa gráficamente mediante una única recta en un plano.

Respuesta:

A) VERDADERA: Cuando uno resuelve un sistema, está encontrado aquel punto en el cual las dos rectas que lo forman se están intersectando.

B) VERDADERA: Resolver gráficamente un sistema es una de las posibilidades. Lo que si hay que tener en cuenta es que la resolución gráfica puede no ser lo suficientemente nítida para soluciones que no sean enteras.

C) VERDADERA: Si las dos rectas coinciden, no hay una única solución; Si las dos rectas son paraleleas NO hay solución .... entonces la solución y su unicidad depende de la posición relativa de las dos rectas.

D) VERDADERA: Por ejemplo cuando las variables aparecen de la forma: (1/x) y (1/y), se usan incógnitas auxiliares.

E) FALSA: Gráficamente se representa como dos rectas paralelas (Misma pendiente).

Fuente: Santillana-MINEDUC 2011
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II.) Álgerbra.
CMO: Sistemas de Ecuaciones lineales con dos incógnitas. Teoría.

Desafío - Sistema de Ecuaciones (Problema Resuelto)

Respuesta:

Para mayor claridad podemos despejar en la forma: 
y = mx + n, 
con m = pendiente ; n = Y- intercepto.

(1) y = 2x/3 - 8/3
(2) y = 4x/6 + 9/6 = 2x/3 + 3/2

Son dos rectas paralelas, dado que tiene la mismapendiente, pero que intersectan al eje OY en distintos valores ( -8/3 y 3/2 )

Leugo, si son paralelas NO hay solución alguna.

Fuente: Libro Ejercicios PSU - PUC
NEM: 2do. Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Sistemas de Ecuaciones Lineales. Análisis de solución.

Desafío - Sistemas de Ecuaciones

A un evento asistieron 56 personas. Si había 4 mujeres por cada tres hombres, ¿Cuántes mujeres asistieron al evento?

A) 8 ; B) 21 ; C) 24 ; D) 28 ; E) 32

Respuesta: Llamemos "H" al número de hombres que hay y llamemos "M" al número de mujeres. Esta elección, obviamente nos ayuda a plantear:

M/H = 4/3, despejamos H (pues nos piden "M"), en función de M, multiplicando cruzado en esta ecuación:
3M = 4H
3M/4 = H

Pero sabemos además que: M + H = 56

Tenemos 2 ecuaciones:

i) 3M/4 = H
ii) M + H = 56

Sustituyendo: M + 3M/4 = 56
multiplicamos toda la ecuación por 4 (para evitar fracciones)
4M + 3M = 224
7M = 224
M = 224/7 = 32

Alternativa E)

Fuente: DEMRE
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Sistemas de Ecuaciones Lineales con 2 Incógnitas.

Desafío - Rectas

Respuesta:

Tenemos 2 Ecuaciones:

(i) y = 4x - 1
(ii) y = 5 - x/2

Usando el método de IGUALACION, igualamos las "y" de ambas ecuaciones,
que ya están despejadas:

4x - 1 = 5 - x/2 /(Multiplicamos por 2)
8x - 2 = 10 - x
8x + x = 10 + 2
9x = 12
x= 12/9 /(dividimos por 3)
x=4/3

Reemplazamos este valor de "x" en la primera de las ecuaciones:
y = 4(4/3) - 1 = 16/3 - 1 = (16-3)/3 = 13/3

El par ordenado es: (x,y) = (4/3 , 13/3) ; Alternativa A)

Fuente: Faccimil PreU. PREUNAB
NEM:  Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Geometría Analítica. Punto de Corte de 2 Rectas.

Desafío - Intersección de Rectas

Sea

L1 : y = 2x - 1

L2 : y = 3x + 4

Entonces L1 Intersectado con L2 es:

A) (-5,-11)

B) (5,11)

C) (5,1)

D) (1,5)

E) (-3,5)

Respuesta: La intersección de las dos rectas es el punto solución que sale al resolver el sistema de ecuaciones: Igualando la variable "y",

2x - 1 = 3x + 4

agrupando las "x" a un lado y los números al otro:

-1 - 4 = 3x -2x

-5 = x

Luego sustituytendo x=-5 en alguna de las ecuaciones:

y = 2x -1

y = 2(-5) - 1 = -10 - 1 = -11

El Par SOLUCIÓN es: (-5, -11), Alternativa A)

Fuente: Faccímil Cecilia Roa.

NEM Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - PSU DEMRE 2011 - 27

Respuesta: Si sumamos las dos ecuaciones, podemos eliminar "Y" de inmediato:

(1) 3x + 2y = 17

(2) 3x - 2y = 1

Sumando:

6x = 18

x=18/6=3

Reemplazando en (1)

3(3) + 2y = 17

9 + 2y = 17

2y = 17 - 9

2y = 8

y=4

Luego: (x-y)/y=(3-4)/4=-1/4 ; Alternativa E)

Fuente: PSU - DEMRE 2011 - Item 27
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Análisis de un Sistema

El Sistema de Ecuaciones con 2 incógnitas, anterior:

A) Tiene solución única.

B) Tiene infinitas soluciones.

C) Tiene 2 soluciones.

D) No tiene solución.

E) No se puede determinar.

Respuesta: Si dividimos la segunda ecuación (2) por 3, llegamos EXACTAMENTE a la Ecuación primera (1) .... Esto significa que cada una de las ecuaciones representa a la misma recta o son dos rectas coincidentes, por lo tanto hay INFINITAS SOLUCIONES. Alternativa B)

Fuente: PSU matemáticas 2do. Medio - Mare Nostrum/PreU. P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: d. Anáslisis de las Soluciones. Relación entre las expresiones gráficas y algebraicas de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones.

Desafío - Suficiencia de Información

Se pueden calcular las edades de Juanita y de su madre si se sabe que:

(1) Actualmente la suma de sus edades es 44 años.
(2) Dentro de 11 años, la edad de Juanita será la mitad de la edad de su madre.

A) (1) por sí sóla.
B) (2) por sí sóla.
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sóla, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional.

Con ambas informaciones es posible. Si uno llama J a la edad actual de Juanita y M a la edad actual de la madre, podemos construir con (1) y (2) dos ecuaciones con lo que tendremos un sistema de 2 x 2.

(1) Suma de las edades actuales es 44: J + M = 44
(2) Edades comparadas en 11 años: J + 11 = 0,5(M+11)

La alternativa correcta es C), ambas juntas.

Ojo Piojo que NO nos están pidiendo resolver, pero si se resuelve el sistema, las edades actuales de Juanita y Mamá son:

J=11
M=33

Fuente: DEMRE - 2008
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Fuente: Texto Estudiante - Cid Figueroa - 2do. Medio
NEM: Segudno Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con 2 incógnitas

Desafío - Suficiencia de Información

Se puede determinar el precio de una lata de bebida si:

(1) La lata de bebida vale $ 300 menos que el litro de leche.
(2) El valor del litro de leche es múltiplo de $ 300.

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) y (2).
E) Se requiere información adicional.

Respuesta:

Llamemos B al precio de la Bebida,
L al precio de la leche ...de

(1) B = L - 300 de
(2) L = k300, k es un número natural distinto de cero ....

Estas dos ecuaciones no nos sirven para encontrar el valor de la bebida porque k es indeterminado.

Alternativa E)

Fuente: DEMRE - 2009
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Resolución de Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Geometría Analítica

¿Cuál de las siguientes figuras representa la intersección de

3x + y = 4

con

y + x = 0 ?

Solución: Despejamos ambas ecuaciones para observar sus pendientes:

(1) y = - 3x + 4

(2) y= - x

Ambos tienen pendientes negativas. Esto elimina las alternativas A) que tiene dos pendientes positivas, B) que tiene una pendiente positiva y la C) que tiene una pendiente positiva.

Por otra parte, la recta (1) tiene por Y-intercepto al 4. Esto elimina la alternativa E), donde ninguna de las dos rectas corta al eje Y en (0,4)

Alternativa D)

Fuente: DEMRE 2003

NEM: Segundo Medio

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 1.

CMO: Sistemas de Ecuaciones. Gráfico de las rectas. Relación entre las expresiones gráficas y algebraicas de los sistemas de ecuaciones lineales y sus soluciones.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

¿ Cuál de los siguientes grafos representa mejor el anterior Sistema?

Respuesta:

Por la definición de módulo de un número tenemos que:

Grafiquemos ahora la otra función: x-y=2

Trasponiendo y:

x-2 = y

y = x-2

Y si comparamos con y= mx + n

Vemos que la oendiente de la recta es +1, es decir la pendiente es positiva.

Por otra parte, el Y-Intercepto = n = -2

Es decir corta al aje Y a la altura de -2.

La gráfica es similar a esta:

Luego, la alternativa que muestra mejor esto es la alternativa D)

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Fuente: Matemática 2do. Medio - Cid Figueroa E.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

La solución del sistema es:

A) (6,2)

B) (2,6)

C) (1,6)

D) (3,4)

E) No tiene solución.

Respuesta:

Paso 1) Multiplicamos la primera ecuación por 6:

6(x/3) + 6(y/2) = 6(3)

2x + 3y = 18

Paso 2) Multiplicamos la segunda ecuación por 2:

2(x/2) + 2(y/2) = 2(4)

x + y=8

Paso 3) Despejamos de la segunda, y:

y = 8 - x

Paso 4) Sustitumos en ecuación 1 modificada:

2x + 3(8-x) = 18

2x + 24 - 3x = 18

2x-3x = 18-24

-x = -6

x=6

y = 8-x = 8-6 = 2

El par ordenado es: (6,2)

Alternativa A)

Nota: Los pasos 3) y 4) se conocen como Método de Sustitución, en la resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con Dos Incógnitas.

Fuente: Matemática 2do. Medio - Cid Figueroa E.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

El producto de dos números es 195. Si sumamos estos números se obtiene otro número cuya cuarta parte es 7. Entonces, la diferencia positiva entre los dos números buscados es:

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6

Respuesta: sean X e Y esos dos números. Revisemos las dos condiciones que da el enunciado:

(Condición 1) El producto de esos números es 195:

X Y = 195

(Condición 2) Si se seuman esos dos núemros, su cuarta parte es 7. (OJO NO habla de resto):

(X + Y)/4 = 7
de donde,
X + Y = 28

Tenemos entonces un sistema:

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Fuente: CEPECH.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Resolución de sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.