Respuesta:
Fuente:
NEM: 1ro. Medio.
Eje Temático: Geometría.
Isometrías
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sábado, 1 de febrero de 2025
lunes, 12 de marzo de 2012
Desafío - Rectas en el Espacio
Tema: Rectas en el espacio, oblicuas y coplanares.
En la figura, A es un punto fuera del plano P.
L es una recta del plano P, es decir, está totalmente contenida en él.
Trazo AH es perpendicular al plano P.
Alternativas:
Respuesta:
Entonces es la alternativa B)
Fuente: Cuaderbo de Ejercicios PSU - U.Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría del Espacio.
En la figura, A es un punto fuera del plano P.
L es una recta del plano P, es decir, está totalmente contenida en él.
Trazo AH es perpendicular al plano P.
Trazo AB es perpendicular a la recta L.
M es un punto de la recta distinto de B.
Entonces con respecto de las longitudes de los trazos AB, AH y AM, es correcto afirmar que:
Entonces es la alternativa B)
Fuente: Cuaderbo de Ejercicios PSU - U.Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría del Espacio.
Desafío - Determinación de un Plano
Tema: Planos en el espacio, determinación por tres puntos no colineales.
Un plano, en el espacio, queda completamete determinado por:
I) Tres puntos no colineales (no alineados)
II) Una recta y un punto exterior a dicha recta.
III) Dos rectas secantes.
IV) Dos rectas paralelas.
¿ Son (es) verdadera(s) ?
A) Sólo I y III
B) Sólo II, III y IV
C) Sólo II y IV
D) Sólo I, III y IV
E) Todas.
Respuesta: Todas las alternativas son verdaderas. Veamos:
I) VERDADERA. 3 puntos determinan un plano, por eso es que las mesas de 3 patas, si el suelo no tiene agujeros, siempre están equilibradas y firmes.
Las otras: II), III) y IV) son simples variaciones, otras formas de lograr esos 3 puntos.
II) VERDADERA: La recta nos provee de 2 puntos cualesquiera que elijamos en ella, el tercer punto lo da el punto exterior a la recta.
III) VERDADERA: Una de las dos rectas nos da los dos puntos cualesquiera que escojamos en ella y tomamos el tercer punto perteneciente a la otra recta, la que la seca (corta).
IV) VERDADERA: Dos puntos cualesquiera los tomamos de la primera recta y de la paralela tomamos el tercer punto, uno cualquiera en ella ....
Alternativa E) .... Todas están buenas!
Fuente: Libro Ejercicios PSU - U.Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Determinación del Plano. Estereometría.
Un plano, en el espacio, queda completamete determinado por:
I) Tres puntos no colineales (no alineados)
II) Una recta y un punto exterior a dicha recta.
III) Dos rectas secantes.
IV) Dos rectas paralelas.
¿ Son (es) verdadera(s) ?
A) Sólo I y III
B) Sólo II, III y IV
C) Sólo II y IV
D) Sólo I, III y IV
E) Todas.
Respuesta: Todas las alternativas son verdaderas. Veamos:
I) VERDADERA. 3 puntos determinan un plano, por eso es que las mesas de 3 patas, si el suelo no tiene agujeros, siempre están equilibradas y firmes.
Las otras: II), III) y IV) son simples variaciones, otras formas de lograr esos 3 puntos.
II) VERDADERA: La recta nos provee de 2 puntos cualesquiera que elijamos en ella, el tercer punto lo da el punto exterior a la recta.
III) VERDADERA: Una de las dos rectas nos da los dos puntos cualesquiera que escojamos en ella y tomamos el tercer punto perteneciente a la otra recta, la que la seca (corta).
IV) VERDADERA: Dos puntos cualesquiera los tomamos de la primera recta y de la paralela tomamos el tercer punto, uno cualquiera en ella ....
Alternativa E) .... Todas están buenas!
Fuente: Libro Ejercicios PSU - U.Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Determinación del Plano. Estereometría.
Desafío - Intersección de Planos
Tema: Intersección de dos planos.
Respuesta:
No olvidemos que la diagonal de un cubo es siempre el lado por raíz de 3 y en este caso el cubo es incompleto, pero la estructura de cubo es el soporte de este problema.
Fuente: Recopilación A. Sánchez
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Intersección de planos.
No olvidemos que la diagonal de un cubo es siempre el lado por raíz de 3 y en este caso el cubo es incompleto, pero la estructura de cubo es el soporte de este problema.
Fuente: Recopilación A. Sánchez
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Intersección de planos.
Desafío - Estereometría.
Tema: Ángulos diedros, planos perpendiculares, intersección de tres o más planos.
Respuesta:
Alternativa A)
Fuente: Creación personal.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Angulos Diedros. Intersección de 3 o más planos.
Respuesta:
Alternativa A)
Fuente: Creación personal.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Angulos Diedros. Intersección de 3 o más planos.
Desafío - Coordenadas Cartesiana Espaciales
Tema: Coordenadas cartesianas en el Espacio.
Alternativa D)
Fuente: Recopilación A. Sánchez.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Coordenadas Cartesianas Espaciales.
Respuesta:
Las coordenadas de A y B son:
A=(2,0,2) Centro de Gravedad de plano ROPQ
B=(2,2,0) Centro de Gravedad de plano RSTO
Con todo, el trazo AB es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene dos catetos iguales a "2", en longitud.
Cuando ello sucede, la hipotenusa -calculada por Pitágoras- es (2)x(raiz(2)), veamos:
Fuente: Recopilación A. Sánchez.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Coordenadas Cartesianas Espaciales.
Desafío - Volumen por Traslación.
Tema: Resolución de problemas sencillos sobre volúmenes de cuerpos generados por traslación de figuras planas.
Respuesta:
Fuente: Recopilación A. Sánchez.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Volumen por Traslación
Respuesta:
Fuente: Recopilación A. Sánchez.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Volumen por Traslación
Desafío - Área por Traslación.
Tema: Resolución de problemas sencillos sobre áreas traslación de figuras planas.
Un sistema de coordenadas espaciales tiene un trazo AB de longitud 2 unidades, con sus extremos en los puntos A(3,1,0) y B(1,1,0). El Sistema de coordenadas sufre una traslación hacia uno nuevo de coordenadas: (X' , Y', Z') como se muestra en la figura, donde el plaz¡no X'Y' coincide con el plano XY.
¿ Cuál es el área de la figura: ABB'A formada por la traslación del trazo AB ?
A) 6 unidades
B) 3 unidades
C) 4 unidades
D) 12 unidades
E) 8 unidades.
Respuesta:
Alternativa A)
Fuente: Creación personal.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Área generada por traslación.
Un sistema de coordenadas espaciales tiene un trazo AB de longitud 2 unidades, con sus extremos en los puntos A(3,1,0) y B(1,1,0). El Sistema de coordenadas sufre una traslación hacia uno nuevo de coordenadas: (X' , Y', Z') como se muestra en la figura, donde el plaz¡no X'Y' coincide con el plano XY.
¿ Cuál es el área de la figura: ABB'A formada por la traslación del trazo AB ?
A) 6 unidades
B) 3 unidades
C) 4 unidades
D) 12 unidades
E) 8 unidades.
Respuesta:
Alternativa A)
Fuente: Creación personal.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Área generada por traslación.
Desafío - Volumen generado por Rotación
Tema: Resolución de problemas sencillos sobre volúmenes de cuerpos generados por rotación de figuras planas.
Se tiene una hoja rectangular de cartulina de 80 cm x 60 cm. Se hace girar en torno del lado de 80 cm, formándose un cierto sólido geométrico. En seguida de hacer girar en torno al lado de 60 cm obteniéndose otro sólido. La razón entre el volumen del primer sólido y el segundo es de:
A) 3:4
B) 1:2
C) 2:3
D) 4:3
E) 3:2
Respuesta:
Alternativa A)
Fuente: Cuaderno de Ejercicios PSU - La Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría del Espacio. Sólidos generados por rotación.
Se tiene una hoja rectangular de cartulina de 80 cm x 60 cm. Se hace girar en torno del lado de 80 cm, formándose un cierto sólido geométrico. En seguida de hacer girar en torno al lado de 60 cm obteniéndose otro sólido. La razón entre el volumen del primer sólido y el segundo es de:
A) 3:4
B) 1:2
C) 2:3
D) 4:3
E) 3:2
Respuesta:
Fuente: Cuaderno de Ejercicios PSU - La Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría del Espacio. Sólidos generados por rotación.
Desafío - Cuerpos Inscritos
Tema: Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro.
A) Son iguales ambos volúmenes.
B) El volumen mayor es el doble del menor.
C) El volumen mayor es el triple del menor.
D) El volumen mayor es una vez y media el menor.
Respuesta:
En la primera imagen, el radio basal es "r" y la altura "h".
En la segunda imagen, hay 2 conos de radio basal "r", pero cada uno de ellos posee altura "h/2".
Luego:
Las dos figuras poseen el mismo volumen, Alternativa A)
Fuente: Variación de pregunta del libro PSU de la U. Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Cuerpos Inscritos,
A) Son iguales ambos volúmenes.
B) El volumen mayor es el doble del menor.
C) El volumen mayor es el triple del menor.
D) El volumen mayor es una vez y media el menor.
E) NO se pueden comparar porque faltan datos.
Respuesta:
En la primera imagen, el radio basal es "r" y la altura "h".
En la segunda imagen, hay 2 conos de radio basal "r", pero cada uno de ellos posee altura "h/2".
Luego:
Las dos figuras poseen el mismo volumen, Alternativa A)
Fuente: Variación de pregunta del libro PSU de la U. Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Cuerpos Inscritos,
Desafío - Distancias/Alturas
Tema: Razones Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias inaccesibles que pueden involucrar proporcionalidad en triángulos rectángulos.
Respuesta:
Alternativa C)
Fuente:
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO:
Respuesta:
Alternativa C)
Fuente:
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO:
Desafío - Razones Trigonométricas
Tema: Razones Trigonométricas en Triángulo rectángulo.
Respuesta:
La falsa es la alternativa E)
Fuente: Recopilación A. Sánchez.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Razones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo.
Respuesta:
Fuente: Recopilación A. Sánchez.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Razones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo.
Desafío - Tríos Pitagóricos.
Tema: Tríos Pitagóricos.
A) 3, 4, 5
B) 5, 12, 13
C) 15, 8, 17
D) 6, 8, 10
E) 5, 13, 14
Respuesta: el trío de la alternativa E) NO es pitagórico:
Todos los demás están correctos ....
Fuente: Creación Personal.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Tríos Pitagóricos.
¿ No es trío Pitagórico ?
A) 3, 4, 5
B) 5, 12, 13
C) 15, 8, 17
D) 6, 8, 10
E) 5, 13, 14
Respuesta: el trío de la alternativa E) NO es pitagórico:
Todos los demás están correctos ....
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Tríos Pitagóricos.
Desafío - Teorema de Euclides.
Tema: Teoremas de Euclides.
Respuesta:
Alternativa C)
Fuente:Recopilación A. Sánchez.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Teorema de Euclides.
Respuesta:
Alternativa C)
Fuente:Recopilación A. Sánchez.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Teorema de Euclides.
Desafío - Teorema de Euclides.
Tema: Teoremas de Euclides y proporcionalidad en el triángulo rectángulo.
Respuesta:
Entonces, como lo anuncié, Alternativa E)
Fuente: Recopilación A. Sánchez
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Teorema de Euclides.
Respuesta:
Entonces, como lo anuncié, Alternativa E)
Fuente: Recopilación A. Sánchez
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Teorema de Euclides.
Desafío - Organización Lógica de los Argumentos.
Tema: Organización lógica de los argumentos.
Mire los siguientes esquemas:
Se quiere demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
La Secuencia Lógica según la cual los anteriores elementos se ordenan en esta demostración es:
A) I, II, III
B) II, I, III
C) I, III, II
D) III, II, I
E) Ninguna de las anteriores.
Respuesta:
La secuencia lógica de acuerdo a la literatura tradicional matemática es:
Tesis: Lo que se va a demostrar (III)
Hipótesis: Los datos que se tienen (II)
Demostración: Secuencia de pasos para demostrar (I)
El orden es: (III) - (II) - (I) ; Alternativa D)
Mire los siguientes esquemas:
Se quiere demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
La Secuencia Lógica según la cual los anteriores elementos se ordenan en esta demostración es:
A) I, II, III
B) II, I, III
C) I, III, II
D) III, II, I
E) Ninguna de las anteriores.
Respuesta:
La secuencia lógica de acuerdo a la literatura tradicional matemática es:
Tesis: Lo que se va a demostrar (III)
Hipótesis: Los datos que se tienen (II)
Demostración: Secuencia de pasos para demostrar (I)
El orden es: (III) - (II) - (I) ; Alternativa D)
Fuente: Creación Personal.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Organaización Lógica de los Argumentos. Demostración.
Desafío - Tesis e Hipótesis.
Tema: Distinción entre hipótesis y tesis.
Miren los siguientes elementos:
A) I) es la demostración.
B) III) es la tésis.
C) Para demostrar lo pedido es necesario dar por sabido que los ángulos alternos internos (formados cuando 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal) son congruentes.
D) II) es la tésis.
E) La desmotración tuvo necesidad de una construcción auxiliar.
RESPUESTA: Revisemos uno a uno los elementos de las alternativas:
A) VERDADERA: Efectivamente es la demostración, una secuencia encadenada de pasos en donde se usan elementos antes probados o axiomas (verdades dadas).
B) VERDADERA: Exactamente, es lo que hay que probar.
C) VERDADERA: Hay que dar esto por sabido o demostrarlo en forma previa. Acá lo hemos dado por sabido.
D) FALSA: NO es la tesis, sino la hipótesis (los datos que se tienen)
E) VERDADERA: Debimos trazar la recta AB.
Miren los siguientes elementos:
Se quiere demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
¿ Cuál de los siguientes alternativas es falsa ?
A) I) es la demostración.
B) III) es la tésis.
C) Para demostrar lo pedido es necesario dar por sabido que los ángulos alternos internos (formados cuando 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal) son congruentes.
D) II) es la tésis.
E) La desmotración tuvo necesidad de una construcción auxiliar.
RESPUESTA: Revisemos uno a uno los elementos de las alternativas:
A) VERDADERA: Efectivamente es la demostración, una secuencia encadenada de pasos en donde se usan elementos antes probados o axiomas (verdades dadas).
B) VERDADERA: Exactamente, es lo que hay que probar.
C) VERDADERA: Hay que dar esto por sabido o demostrarlo en forma previa. Acá lo hemos dado por sabido.
D) FALSA: NO es la tesis, sino la hipótesis (los datos que se tienen)
E) VERDADERA: Debimos trazar la recta AB.
Fuente: Creación Personal.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Tesis e Hipótesis.
Desafío - Ángulo del Centro / Ángulo Inscrito.
Si "O" es el centro de la circunferencia, entonces el ángulo "X" mide = ?
A) 10º
B) 20º
C) 35º
D) 50º
E) 70º
Respuesta: Sabemos que si un ángulo del centro subtiende el mismo arco que otro inscrito, el ángulo inscrito mide la mitad de lo que mide el del centro así asociado .... rellenemos en imagen:
Fuente: Texto 2do. Medio de Eduardo Cid Figueroa.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Ángulo del Centro, {Angulo Inscrito
viernes, 9 de marzo de 2012
Desafío - Razón Áurea
Teoremas Presencia de la geometría en expresiones artísticas; por ejemplo, la razón áurea.
Respuesta:
Según esto, sería la alternativa D)
Fuente: CEPECH online.
NEM: Segundo Medio
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Razón Áurea.
Según esto, sería la alternativa D)
Fuente: CEPECH online.
NEM: Segundo Medio
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Razón Áurea.
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