Fuente: DEMRE 2012
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Teorema de Euclides.
jueves, 7 de julio de 2011
Desafío 55 - DEMRE 2012
Respuesta: Revisaremos una a unas las propuestas, y lo haremos como a continuación, basados en que el triángulo es rectángulo en vértice C (opuesto al lado c):
I)
Sen(alfa) = (cateto opuesto)/(hipotenusa) = b/c
Despejando b:
b=c sen(alfa) ;
VERDADERA.
II)
tg(alfa) = (cateto opuesto)/(cateto adyacente) = b/a
Depejando b:
b= a tg(alfa) ;
VERDADERA.
III) Usando el Teorema Particular de Pitágoras, para un triángulo rectángulo:
Entonces también es VERDADERA
I), II) y III) son verdaderas, Alternativa E)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Trigonometría. Razones Trigonométricas en un Triángulo rectángulo.
Desafío 56 - DEMRE 2012
(si haces doble click en la figura, esta se agranda un poco)Respuesta: Miren la alternativa D) al girar como lo indica la flecha, en torno al eje OX (de abcisas):
Alternativa D)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Volumen en Rotación.
Desafío 57 - DEMRE 2012
Respuesta:
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Vectores en el Plano.
Desafío 58 - DEMRE 2012
Respuesta:
Alternativa E)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría del Espacio.
Desafío 59 - DEMRE 2012
En una caja hay 7 fichas negras y 9 blancas, todas del mismo tipo. Se saca una
ficha al azar y ésta es de color negro y no se devuelve a la caja. Si se saca otra
ficha al azar, ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea blanca?
A) 9/15 ; B) 15/16 ; C) 9/16 ; D) 1/15 ; E) 1/9
Fichas Negras = 7 - 1 = 6
Fichas Blancas = 9
Fichas Totales = 6 + 9 = 15
Probabilidad (Sacar una blanca en espacio muestral reducido) = 9/15 ; Alternativa A)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Probabilidad. Regla de Laplace.
Desafío 60 - DEMRE 2012
60. Patricio y Felipe juegan en una máquina que tiene siete fichas del mismo tipo,
numeradas del 1 al 7. La máquina arroja sólo una ficha al azar; si sale par gana
Patricio, si sale impar gana Felipe. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) siempre verdadera(s)?
I) Patricio tiene, aproximadamente, un 43% de probabilidad de ganar.
II) Si se saca de la máquina una ficha al azar de las siete, y se juega con las
seis restantes, entonces ambas personas tienen la misma probabilidad de
ganar.
III) Si se agrega una ficha a la máquina con el número 8, entonces ambas
personas tienen la misma probabilidad de ganar.
A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II y III
I) VERDADERA: Patricio gana con PAR. Pares son: {2,4,6} es decir: 3/7 = 0,42857 .... Cerca al 43%.
II) FALSA: Si se saca al azar una ficha, esta -por ejemplo- puede ser par: Luego Patricio tendría una probabilidad = 2/6 y Felipe una de 4/6, que NO son iguales.
III) VERDADERA: Si se agrega una ficha con el nro 8, las prabailidades se equiparan pues habrá 4 números pares {2,4,6,8} que equiparan a los 4 impares {1,3,5,7}
Alternativa C)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Juegos de Azar Sencillos.
Desafío 61 - DEMRE 2012
Un curso se reunirá a celebrar los cumpleaños del semestre, sus preferencias
de comidas se muestran en la tabla adjunta. Si se elige una persona al azar del
curso, ¿cuál es la probabilidad de que ésta sea hombre y prefiera comer
pasteles?
A) 1/3 ; B) 1/6 ; C) 2/5 ; D) 2/15 ; E) 1/4
1) La muestra total cuenta con: 12+9+6+18 = 45 personas.
2) 6 hombres prefieren pasteles, entonces,
Probabilidad (Ser Hombre y Preferir Pasteles) = 6/45 = 2/15 ; Alternativa D)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Probabilidad. Ley de Laplace.
Desafío 62 - DEMRE 2012
62. ¿Cuál de los siguientes experimentos es aleatorio?
A) Observar la reproducción al término de 2 horas de una cantidad inicial P0 de
bacterias, que se multiplican por bipartición.
B) Lanzar una moneda y observar si cae o no cae.
C) Invertir una cantidad de pesos a una tasa anual del 5% de interés compuesto y
anotar la cantidad de dinero que se tendrá después de 3 años.
D) Comprimir un gas a temperatura constante y observar si la presión sube o baja.
E) Extraer, sin mirar, una pelotita roja de una bolsa que tiene pelotitas rojas, negras
y blancas, todas del mismo tipo.
A) La población sufrirá un proceso de evolución descrito por una curva exponencial.
B) Siempre cae una moneda cuando se lanza.
C) La inversión significará un aumento de riqueza acorde a la ley de interés compuesto.
D) Si se comprime un gas, a temperatura constante aumenta su presión interna.
En cambio es aleatorio la extracción de una pelotita de una bolsa de pelotas como la que se describe, donde siendo todas iguales, hay algunas rojas y otras negras.
Alternativa E)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Experimento Aleatorio.
Desafío 63 - DEMRE 2012
Respuesta:Llamaremos B: al suceso sacar Blanco; V: al suceso sacar Verde; R: al suceso sacar Rojo.
Sabemos por el enunciado que:
P(V) = 1/5
P(R ó V) = 1/2
Como sacar Rojo se excluye con sacar Verde:
P(R ó V) = P(R) + P(V) = 1/2
Luego:
P(R ó V) = P(R) + P(V) = P(R) + 1/5 = 1/2
P(R) = 1/2 - 1/5 = (5-2)/10 = 3/10
Luego: Como sacar blanca es mutuamente excluyente de sacar roja y de sacar verde,
P(B) = 1 - (1/5) - (3/10) = 1 - 2/10 - 3/10 = 5/10 = 1/2
Entonces: P(B ò R) = P(B) + P(R) = 1/2 + 3/10 = 5/10 + 3/10 = 8/10 = 4/5; Alternativa B)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III: Probabilidad y Estadística.
CMO: Probabilidad de la Suma.
Desafío 64 - DEMRE 2012
64. Al lanzar dos dados comunes
I) 6 veces, siempre una vez la suma será 4.
II) 36 veces, siempre 3 veces la suma será 4.
III) 36 mil millones de veces, teóricamente alrededor de 3 mil millones de
veces la suma será 4.
Es (son) verdadera(s)
A) sólo I.
B) sólo II.
C) sólo III.
D) sólo II y III.
E) ninguna de ellas.
Si exponemos en forma directa, el espacio muestral de lanzar dos daos, este será como sigue:
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
En este espacio muestra, las parejas (1,2), (2,2) y (3,1) suman 4. es decir 4/36 = 1/12 suman, teóricamente 4.
Si nosotros lanzamos 6 veces dos dados, no es una exigencia de que la suma sea 4 al menos una vez. Pueden incluso salir las 6 veces el par (1,1) o el par (6,6). Esto invalida la propuesta I) y por argumento similar se invalida la propuesta II).
Lo que si podemos asegurar, para una gran lanzamiento de 2 dados, por la Ley de los Grandes Números, que (1/12) de las veces, la suma será 4. Es decir, para una gran cantidad de lanzamientos de estos pares de dados, la probabilidad experimental tiende a cercarse a la teórica.
Así, es muy probable que (1/12)36.000.000.000 = 3.000.000.000 sean parejas de dados cuyos puntos sumen 4.
Propuesta III) es verdadera, alternativa C)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Ley de los Grandes Números.
Desafío 65 - DEMRE 2012
Respuesta:
La que mejor muestra los resultados es la Alternativa E)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III: Probabilidad y Estadística.
CMO: Ajustar una información estadística a un grafo.
Desafío 66 - DEMRE 2012
Respuesta: La alternativa C) no se puede colegir del grafo, fíjese que está extrapolando una información para TODA américa, y en el grafo apenas hay 7 países representados.Es una información NO deducible del gráfico la mostrada en C); Alternatiuva C)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Interpretación de Grafos. Estadística.
Desafío 67 - DEMRE 2012
67. En cierto pueblo se dieron a conocer los resultados de una encuesta aplicada
recientemente para sondear las preferencias de la población en las próximas
elecciones de alcalde. Dicha encuesta tiene un margen de error del 3% y un
alto nivel de confianza. Los resultados obtenidos fueron: el 15% de los
encuestados dice apoyar al candidato A, el 39% dice que apoya al candidato B,
el 41% apoya al candidato C y el 5% no apoya a ninguno de los candidatos. Si
la población votante del pueblo es de 1.000 personas y las elecciones fueran
hoy, es correcto afirmar con una mayor probabilidad que
A) el candidato A obtendría 150 votos.
B) el candidato B obtendría entre 390 y 420 votos.
C) el candidato C obtendría entre 380 y 410 votos.
D) el candidato C ganaría la elección.
E) entre 20 y 80 votantes no se inclinarán por ningún candidato.
Para el candidato A, sabiendo que 15% de 1.000 = 150,
hay un rango de (150-30, 150+30).
Esto invalida alternativa A)
Para el candidato B, sabiendo que 39% de 1.000 = 390,
hay un rango de (390-30, 390+30) = (360,420).
Esto invalida alternativa B), que sólo usó el error como exceso.
Para el candidato C), sabiendo que 41% de 1.000 = 410,
hay un rango de (410-30, 410+30) = (380, 440).
Esto invalida alternativa C), que sólo usó el error como defecto.
No necesariamente el candidato C) gana la elección, pues el candidato B), si sube el 3% del error a su votación, puede pasar al candidato C) que baje en el 3% su votación, acorde al margen de error.
Luego no nos queda otra alternativa que la E), que no sería obligación revisar.
Pero veámosla:
Alternativa E) No votan: 5% de 1.000 = 50 .... pero aplicando el margen de error, por defecto y exceso, los que no votan pueden ser parte del rango: (50-30, 50+30) = (20,80)
Correcta es la Alternativa E)
Comentario del Blogger: este es un ejercicio muy bello, nunca antes visto!
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Interpretación de Información.
Desafío 68 - DEMRE 2012
68. ¿Para el cálculo de cuál(es) de las siguientes medidas de tendencia central es necesario ordenar los datos?
I) La moda
II) La mediana
III) La media aritmética
A) Sólo para I
B) Sólo para II
C) Sólo para III
D) Sólo para I y para III
E) Para I, para II y para III
La moda es el dato que más se repite. NO es necesario ordenar los datos para encontrar el que más se repite.
El promedio se puede lograr sin necesidad de ordenar datos.
La mediana, que es el dato que separa en (2) partes iguales los datos ordenados, necesita disponer los datos en orden.
Sólo para la mediana. Alternativa B)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadística. Estadígrafos. Medidas de Tendencia Central.
Desafío 69 - DEMRE 2012
69. Se puede determinar el precio de un saco de papas, si se sabe que:
(1) El saco de papas contiene 80 kilogramos.
(2) El kilogramo de papas vale el doble que el kilogramo de
cebollas.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Alternativa E)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Planteo de Problemas.
Desafío 70 - DEMRE 2012
70. Un curso está compuesto por x alumnos y se sabe que de ellos (x - 3y) reprueban
un examen. Se puede saber cuántos alumnos tiene el curso, si se sabe que:
(1) El 25% del curso reprobó el examen.
(2) y = 5
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Alternativa C)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Planteo de Ecuaciones.
Desafío 71 - DEMRE 2012
Respuesta:
Con (1) tenemos Un triángulo Rectángulo, la medida de su hipotenusa y uno de los dos ángulos agudos. Con ello tenemos definidas todas las razones trigonométricas que nos permiten llevar a la medida de BC. En Concreto: Cos(30º) = BC/15
Con (2) tenemos un triángulo rectángulo en que conocemos: la hipotenusa y uno de los catetos. Podemos, por el Teorema Particular de Pitágoras, calcular el otro.
Alternativa D), Cada una por sí sola!
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Trigonometría.
Desafío 72 - DEMRE 2012
Respuesta:
Alternativa A)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Inecuaciones. Intervalos de Números Reales.
Desafío 73 - DEMRE 2012
Respuesta:
Alternativa B)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Ángulos en la Circunferencia.
Desafío 74 - DEMRE 2012
Respuesta: Para lograr bien un promedio, debemos tener ó: cada uno de los datos (ello nos permite conocer cuantos son) o los datos agrupados por frecuencias (lo que también nos permite saber cuan son). Tener el mayor y el menor no nos sirve de nada si queremos saber el promedio.
Por tanto, la información NO es suficiente. Alternativa E)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadígrafos.
Desafío 75 - DEMRE 2012
75. Se puede determinar la cantidad de años necesarios para que un capital inicial se
duplique, colocado a interés compuesto anual, sin realizar depósitos ni retiros, si se
conoce:
(1) El interés aplicado.
(2) El monto del capital inicial.
A) (1) por sí sola
B) (2) por sí sola
C) Ambas juntas, (1) y (2)
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)
E) Se requiere información adicional
Basta con la sóla información dada en (1).
Alternativa A)
Fuente: DEMRE 2012
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Interés Compuesto
==========
Link al Diccio-Mates:
Concepto: Interés Compuesto
miércoles, 6 de julio de 2011
Desafío - Estadígrafos
Las calificaciones obtenidas por 10 educandos en un control son:
4 - 5 - 7 - 5 - 3 - 5 - 4 - 5 - 5 - 2,
entonces podemos decir:
A) La media aritmética es igual a 4,2.
B) Las modas son 4 y 5.
C) La mediana es igual a 3.
D) Mo=Me=5.
E) Ninguna de las anteriores.
Respuesta: ordenemos los datos, de menor a mayor:
2 - 3 - 4 - 4 - 5 - 5 - 5 - 5 - 5 - 7
La mediana es 5 ((5+5)/2). La moda es 5 y es una sola moda. La media aritmética es:
(2+3+4+4+5+5+5+5+5+7)/10 = 45/10 = 4,5
La alternativa correcta es D)
Fuente: Cuaderno de ejercicios - U.Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: Probabilidad y Estadística.
CMO: Estadística. Estadígrafos.
Desafío - Inecuación Cuadrática
El intervalo solución para la anterior inecuación cuadrática es:A) IR
B) Conjunto Vacío.
C) {-1, 1}
D) Reales Positivos.
E) Reales Negativos.
Respuesta: Vamos a graficar la función .... pero, antes que eso, si calculamos el discriminante (Discrminante = (1)(1)-4(1)(1) = -3), podemos ver que no hay raíces reales. Es decir, la curva nunca corta el eje abcisas, y siempre se mantiene positiva, por lo tanto, la inecuación no se cumple para ningún punto del eje Real. Alternativa B).
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Inecuaciones Cuadráticas.
Desafío - Sistema de Ecuaciones.
Dado el anterior sistema de ecuaciones, los valores de (x+y), y de (x-y) son respectivamente:
A) 5 ; 1
B) -1 ; 5
C) 1 ; 5
D) -5 ; -1
E) -1 ; -5
Respuesta: El truco de este sistema de ecuaciones es que no es necesario resolverlo explícitamennte, miren, hagamos 2 cosas:
1) Sumar las ecuaciones:
24x - 24y = 24
luego si dividimos por 24
x - y = 1
2) A (i) restemos (ii):
13x-11x -11y + 13y = 17 -7
2x + 2y = 10
x + y = 5
(x+y)=5 ; (x-y)=1 ; Alternativa A)
Fuente: Libro de Ejercicios U. Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistema de Ecuaciones.
Desafío - Proporcionalidad
Respuesta:
1,5 copas vino ---------- 1 copa cognac
x copas vino ------------ 1,5 copas cognac
Multiplicando cruzado:
x = (1,5)(1,5) = (3/2)(3/2) = 9/4 = 2 enteros 1/4 ; Alternativa C)
Fuente: Libro de Ejercicios - U.Católica
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.
CMO: Proporcionalidad Directa.
Desafío - Ecuación
La solución de la anterior ecuación es:
A) x=-4 ; B) x=4 ; C) x=4 y x=-4 ; D) x = e ; E) Ninguna de las anteriores
Respuesta:
Fuente: Santillana 4to. Medio
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Función Logaritmo Natural y Función Exponencial en base "e" como inversas.
Desafío - Dominio de Función
Respuesta:
Como es una función real, hay problemas si aparece en la cantidad subradical de ella un número negativo. Pero esto NO es posible porque un cuadrado (de cualquier número Real) aumentado en 1, es siempre un número positivo.
El dominio entonces es TODO el conjunto de los Reales, Alternativa E)
Fuente: Libro de Ejercicios - U.Católica
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Raíces. Funciones que involucran raíces.
Desafío - Función
Respuesta:
Alternativa B)
Fuente: Libro de Ejercicios PSU - U.Católica
NEM: Segundo Medio.
Eke Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Funciones. Evaluar una Función. Encontrar un Parámetro.
Desafío - Teselación del Plano
Respuesta: La imagen de la alternativa B), si la rotamnos en 180º, la clonamos (hacemos varias de de ellas que luego trasladamos superponiéndolas (sin traslape), tendremos:
Una vez formada la primera de las tiras, la de la izquierda, copiamos varias y una de ellas la volvemos a rotar en 180º, para formar la segunda tira vertical ....
Como ven, este embaldosamiento (TESELACION) es una composición de isometrías con la figura de la alternativa B)
ALTERNATIVA B)
Nota: Traslaciones, Rotaciones, Simetría Axial y Central, son transformaciones isométricas planares (dentro del plano).
Fuente: Faccímil PSU - P.Valdivia
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Teselación
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