Desafío - Probabilidad (Problema Resuelto)

Ud. lanza un dado no sesgado (no truncado o bueno). 

¿Cuál(es) de las siguiente(s) aseveraciones es (son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de que las caras laterales y la superior sumen 20 es 1/6.
II) La probabilidad de que las caras laterales sumen 14 es 1.
III) La probabilidad de que la cara inferior y la superior sumen 7 es 1.

A) Sólo I y II
B) Sólo I y III
C) Sólo II y III
D) Ninguna de las aseveraciones es verdadera.
E) I, II, III

Respuesta: Veamos una a una las proposiciones:

I) VERDADERA: los números del 1 al 6 suman: 1+2+3+4+5+6 = 21

Para sumar 20, deberá salir el uno abajo (y el 6 arriba). La probabilidad de que sumen 20 = Probabilidad de que en el dado salga el 6 = 1/6.

II) VERDADERA: como sabemos, por definición, cualquier cara que esté en la parte de abajo, tapada al caer sobre una superficie, suma con la cara de arriba 7, entonces, las otras parejas de caras opuestas también suman 7, son dos parejas de caras laterales donde una cara y su antípoda suman 7, por tanto, como son 2, suman 14. Este suceso es SEGURO, de probabilidad 1.

III) VERDADERA: por definición de lo que es un dado. Siempre en un dado, por construcción, la cara inferior y la superior de cualquier tirada suman 7. Este suceso es SEGURO, de probabilidad 1.

Fuente: Variación de un problema del Libro 2do. Medio Santillana (Edición Morada)
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: IV.) Datos y Azar.
CMO: Regla de Laplace.

Desafío - Probabilidades (Problema Resuelto)

Comparar las probabilidades de:

P1 = Probabilidad de obtener 4 con un dado.
P2= Probabilidad de obtener 8 con dos dados.
P3= Probabilidad de obtener 12 con 3 dados.

A) P1=P2=P3
B) P1 es menor que P2 y P2 es menor que P3
C) P1 es mayor que P2 y P2 es mayor que P3
D) P1 es mayor que P2 ; P2=P3
E) No se puede comparar. 

Respuesta:

Calculemos cada una de las tres probabilidades:

P1 = 1/6 (Cuatro es la única posibilidad favorable de 6 resultados posibles)

P2 : Los pares que suman 8 son: (2,6) ; (3,5) ; (4,4) ; (5,3) ; (6,2) : 
5 casos favorables de 36.
P2 = 5/36

P3: Acá es más difícil contar los casos:
Luego de un proceso bien trabajoso, los tríos que abren suma 12 son:
Tríos: 1-5-6 ; 2-4-6 ; 2-5-5 ; 3-3-6 ; 3-4-5 ; 4-4-4
No todos estos tríos dan la misma cantidades de combinaciones.
Trío 1-5-6: combinaciones: 156, 165, 516, 561, 651, 615 : 6 casos favorables,
Trío 2-4-6: combinaciones: 246, 264, 426, 462, 624, 642 : 6 casos favorables,
Trío 2-5-5: combinaciones: 255, 525, 552 : 3 casos favorables,
Trío 3-3-6: combinaciones: 336, 363, 633 : 3 casos favorables,
Trío 3-4-5: combinaciones: 345, 354, 435, 453, 534, 543 : 6 casos favorables,
Trío 4-4-4: combinaciones: 444 : 1 caso favorable.
Suman 25 casos favorables de un total de 6x6x6 = 216 combinaciones totales.
P3 = 25/216

P1 : P2 : P3 = 1/6 : 5/36 : 25/216

Amplificamos para poder comparar:

P1 : P2 : P3 = 36/216 : 30/216 : 25/216

P1 es mayor que P2 y P2 es mayor que P3

Alternativa C)

Fuente: Variación de Problema de Hall and Knight
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: IV.) Datos y Azar.
CMO: Probabilidad.