Desafío - Coordenadas (Resuelto)

Respuesta:

Fuente: Puc-Ensayo
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra; III.) Geometría.
CMO: Sistema de Coordenadas Cartesianas.

Desafío - 55 - DEMRE - Recopila fmat (Problema Resuelto)

Respuesta:

a) Nótese que hay un triángulo rectángulo, pues dos lados son paralelos a 2 ejes respectivamente.

b) Trazo que une (1,1) con (1,7) es paralelo al eje OY.

c) Trazo que une (1,1) con (4,1) es paralelo al eje OX.

d) Estos dos trazos son perpendiculares.

e) Un cateto mide (7-1), el cateto vertical.

f) Otro Cateto, el menor, mide (4-1), el cateto horizontal.

g) Luego la hipotenusa es = Raíz ( (4-1)^2 + (7-1)^2 ) = Raíz (45)

h) Cosen (alfa) = 3/(Raíz (45)) = 3/(3xRaíz(5)) = 1/(Raíz(5))

i) Racionalizando = Raíz(5)/5

Fuente: PSU DEMRE - Recopila fmat.

NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III.) Geometría.
CMO: Trigonometría.

Desafío 17 - Composición de Isometrías (Problema Resuelto)

En el sistema cartesiano de origen O, ¿Cuáles son las coordenadas del Punto P(x,y)?

(1) Si al punto P se le aplica una rotación R(0, 180°) se obtiene el punto ( -4, 5).
(2) Si al punto P se le aplica una traslación T(-2, -3) y a continuación una rotación R(0, 90°) se obtiene el punto (8, 2).

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.

Respuesta:

Veamos por qué la respuesta correcta es D), Cada una por sí sola!

Analizamos (1):
Un punto (x,y) rotado en (0,180°) se transforma en (-x,-y)
Luego nos están diciendo que (-4,5) = (-x,y), y con ello yo saco los valores de x e y.
Con (1) se puede lograr el punto (x,y)

Analizamos (2):
Un punto (x,y), trasladado según el vector traslación (-2,3) se transforma en (x-2, y+3)
Una rotación al punto (x,y) de (0,90°) lo lleva al punto (-y,x),
Entonces la rotación (0,90°), llevará a (x-2, y+3) al punto (-y-3,x-2) que es (8,2)
y con ello obrtenemos los valores de x e y
Con (2) se puede lograr los valores de x e y.

Fuente: P.P.Valdivia.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Composición de Isometrías.

Desafío - Geometría

Si el punto M (x , x+1) es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos A(-x+3 , 5) y B(5x-1, 3x-2), entonces x = ?

A) -5 ; B) -1 ; C) 3 ; D) 7 ; E) 9

Respuesta:

las coordenadas del punto medio, relativo a dos puntos extremos, es la semisuma de las coordenadas de los puntos extremos:

Para la abcisa:
x = { (-x+3) + (5x-1) }/2
Luego despejando el 2:
2x = 5x - x + 3 -1
2x = 4x + 2
-2 = 4x - 2x
-2 = 2x
x = -2/2 = -1

Para la ordenada:

x+1 = { (5) + (3x-2) }/2
Despejando el 2:
2x + 2 = 3x + 5 - 2
2x + 2 = 3x + 3
2x - 3x = 3 - 2
-x = 1
x = -1

x = -1 ; Alternativa B)

Fuente: Matemáticas PSU - Cuaderno UC
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III.) Geometría.
CMO: Coordenadas del Punto Medio.