Desafío - Día 26 - Métodos de Enumeración (Problema Resuelto)

Respuesta:

Pensemos que hay 8 personas, 3 mujeres: Rosa, Elvira y María. Además hay 5 hombres: Juan, Pablo, Nemesio, Teodoro y Jacinto. 

Como para formar un comité, es lo mismo que vayan Jacinto y Memesio que Nemesio y Jacinto, decimos que en este problema NO importa el orden .... Luego estamos hablando de Combinaciones.

Por el principio multiplicativo multiplicamos todas las posibles elecciones de mujeres por todas las posibles elecciones de hombres:

De tres mujeres debemos sacar 1, estas son las combinaciones C(3,1)
De 5 hombres debemos sacar 2 de ellos, estas son las combinaciones C(5,2)

Luego la respuesta es: C(3,1)xC(5,2) = 

Alternativa C)

Desafío - Métodos de Enumeración

¿De cuántas maneras distintas pueden ordenarse 4 personas dentro de un auto, sabiendo que sólo una de ellas maneja?

A) 6

B) 9

C) 16

D) 24

E) 27

Respuesta: Si ubicamos a la persona que maneja, en el puesto que acompaña al conductor, pueden ir tres personas, en el otro -cualquiera de los 2 de atrás- pueden ir 2 personas y el en el último la persona que resta .... son (3)(2)(1) maneras = 6. alternativa A)

Fuente: CEPECH.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Método de Enumeración.

Desafío - Métodos de Enumeración

¿ De cuántas maneras distintas pueden ordenarse 5 personas en un círculo ?

A) 3.125

B) 256

C) 120

D) 25

E) 24

Respuesta:

Una persona puede sentarse en cualquier puesto de la mesa redonda. Las otras 4 personas pueden acomodarse de (4)(3)(2)(1) = 4! = 24 formas.

Este es un ejemplo de PERMUTACION CIRCULAR. En general, n objetos pueden distribuirse en un círculo de (n-1)! formas.

Fuente: CEPECH.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Método de Enumeración.

Desafío - Métodos de Enumeración

¿ Cuántos números distintos de 3 cifras se pueden escribir con los dígitos 4,5, y 6, sabiendo que se pueden utilizar una sola vez?

A) 6

B) 9

C) 15

D) 27

E) 120

Respuesta: En la cifra de las centenas puedo poner 1 de 3 números, en la de las decenas 1 de los dos números que quedan y en la cifra de las unidades el número que reste .... tengo: 3 por 2 por 1 = 3! = (3)(2)(1) = 6. Alternativa A)

Nota: 3! se lee: "tres factorial" y es la multiplicación de 3 por 2 por 1.

Fuente: CEPECH.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Método de Enumeración.

Desafío - Métodos de Enumeración

¿De cuántas maneras distintas pueden ordenarse 6 personas en una fila?

A) 46.656

B) 720

C) 36

D) 30

E) 21

Respuesta: En el primer lugar puedo poner una de 6 personas. Ya puesta una de ellas en ese lugar, puedo ahora poner en el segundo lugar 1 de 5 personas. En el tercer lugar, habiéndose ocupado 2 personas, puedo poner una de 4, en el cuarto lugar 1 de 3, en el segundo 1 de 2 y en el último, la última persona que me quede.

La respuesta es 6! = (6)(5)(4)(3)(2)(1) = 720, Alternativa B)

Fuente: CEPECH 2010

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Métodos de Enumeración.

Desafío - Métodos de Enumeración

(Nota, este ejercicio NO es prototípico de la PSU actual)

En un barco se dispone de 5 banderas de diferentes colores. ¿Cuántas señales se pueden enviar izando 3 banderas en un mástil?

A) 5

B) 10

C) 15

D) 30

E) 60

Respuesta:

Este es un ejercicio poco habitual en la PSU. Corresponde a la Materia de Métodos de Conteo y por lo general se utiliza una "Permutación" para resolverlo.

Una alternativa es hacer el conteo exhautivamente, es decir, pensamos en 5 colores

NEGRO - ROJO - AZUL - VERDE - CELESTE

y con ellos formamos todas las posibles ordenaciones de a tres colores.

Como en el programa Paint es muy fácil dibujar círculos de colores (no usaremos banderas), ponemos estos círculo hacia el lado, en vez de hacia abajo como en un mástil y formamos todos los posibles arreglos:

Todas las posibles señales,

recordando que:

NO es lo mismo poner (rojo, verde, negro) que (negro, rojo, verde),

(Nota: Ordenaciones diferentes de colores iguales son distintos mensajes)

son:

Son efectivamente 60 DIFERENTES MENSAJES!

Lo anterior se puede sacar

utilizando una permutación de 5 sobre 3,

P(5,3) = 5!/{(5-3)!}

5!/{(5-3)!} = (5)(4)(3)(2!)/(2!) = (5)(4)(3) = 60

Los sesenta resultados antes enumerados exhautivamente. Alternativa E)

Fuente: PAA Pedro de Valdivia.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Métodos de Enumeración.

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Concepto: Permutaciones:

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