Desafío - Ley de los Grandes Números - 1ro. Medio - Resuelto

 Respuesta: 

I) FALSO: Cuando se lanzan 2 dados, hay 36 resultados posibles, 3 de ellos suma 4: ( [1.3] - [2.2] - [3.1] ), No hay obligación, son sucesos independientes, de que en 6 tiradas tenga que salir una vez la suma 4, menos siempre.

II) Espacio Muestral:

{ 11 12 13 14 15 16

   21 22 23 24 25 26

   31 32 33 34 35 36

   41 42 43 44 45 46

   51 52 53 54 55 56

   61 62 63 64 65 66 }

Es FALSO que al lanzar 36 veces, tengan que salir los casos (13 / 22 / 31) cada uno de ellos una vez, podrían o no, depende del azar.

III) ESTO ES VERDAD, si yo lanzo 36.000 millones de veces, la suma 4 aparecerá una fracción similar al resultado teórico de 3/16, por la ley de los grandes números.

3/36 = x/36.000.000.000

x = 3.000.000.000

Alternativa C)

Fuente: DEMRE 2012

NEM: 1ro. Medio.

Eje Temático: Datos y Azar.

CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Probabilidad (Problema Resuelto)

Al lanzar dos dados comunes,

I) 30 veces, en 15 de ellas la suma de sus puntos sería par.
II) 600 veces, en 100 de ellas la suma de sus puntos será siete.
III) 1800 veces, teóricamente alrededor de 200 veces la multiplicación de sus puntos sería 12.

¿Cuál(es) es(son) verdadera(s)?

A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo III.
D) Sólo I y II.
E) Sólo II y III.

Respuesta:

Nota 1: Este es un problema relativo a la LEY de los GRANDES NÚMEROS.

Nota 2: La ley de los Grandes Números dice que la probabilidad experimental se acercará tanto como queramos, a la probabilidad teórica, en la medida que el número de veces que se realiza el experimento sea cada vez más grande.

Nota 3: Las tres probabilidades teóricas asociadas a los enunciados están bien, veamos.

I) P(suma par) = 18/36 = 1/2

18 Pares: (1,1) (1,3) (1,5) (2,2) (2,4) (2,6) (3,1) (3,3) (3,5) (4,2) (4,4) (4,6) (5,1) (5,3) (5,5) (6,2) (6,4) (6,6).

II) P(Suma Siete) = 6/36=1/6

6 Pares: (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1).

III) P(Producto sea 12)=4/36=1/9

4 pares: (2,6) (6,2) (3,4) (4,3)

Nota 4: Podríamos multiplicar la cantidad total de experimentos por las probabilidades teóricas y nos darían las cantidades de veces señalas en I, II, III .... SIN EMBARGO ....

Nota 5: SIN EMBARGO, la única alternativa que expresa bien lo que debiese suceder es la alternativa III, en ella está dicha la ley de los grandes números de forma cabal ...

Sólo es verdadera III) Alternativa C)

Otra forma de mirar:

I) El número de experimentos es bajo y no está enunciada la Ley de los Grandes Números, por estos dos elementos es FALSA.

II) El número de experimentos es un poco más grande, eso mejora, pero nuevamente NO está enunciada la Ley de los Grandes Números.

III) El número de experimentos es MUCHO más grande y además está adecuadamente expresada la ley de los Grandes Números.

Fuente: Material PSU P.Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: IV.) Datos y Azar.
CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - DEMRE Admisión 2013 - 64

64. 


Se dispone de un mazo con un total de 6 cartas de naipe: 3 ases, 2 reyes y 1 reina. Se barajan bien, se extrae una al azar, se anota su tipo, luego se devuelve al mazo y se saca otra al azar, así sucesivamente hasta llegar a 700 extracciones y se anota su frecuencia relativa porcentual, como se muestra en la tabla adjunta. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Los porcentajes obtenidos son aproximados a la probabilidad teórica de obtener cada carta en el experimento de extraer una carta.
II) Se extrajeron 350 ases, 231 reyes y 119 reinas.
III) Por cada 50 ases extraídos, se extrajeron 33 reyes y 17 reinas.

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II y III

Respuesta: Veamos cada una de las sentencias:

I) VERDADERA: Por la Ley de los Grandes Números: La probabilidad experimental porcentual se va aproximando a la probabilidad teórica o a priori.

II) VERDADERA:
50% de 700 =350 (Ases)
33% de 700 = aprox. 231 (Reyes)
17% de 700 = aprox. 119 (Reinas)

III) VERDADERA: Esto es lo que debería suceder en 100 extracciones. 50 Ases, 33 Reyes y 17 Reinas.

I), II), III) Verdaderas: ALTERNATIVA E)

Fuente: DEMRE
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Ley de los Grandes Números. Estadisticas. Lectura e Interpretación de Tablas.

Desafío - DEMRE Admisión 2013 - 61

61. La tabla adjunta muestra la distribución de los cargos de las 300 personas que trabajan en una empresa. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?

I) Si se elige una persona al azar, entonces la probabilidad de que ésta sea un guardia es 0,42.
II) El 32% del total que trabaja en la empresa son jefes de sección.
III) Si se elige una persona al azar, entonces la probabilidad de que ésta no sea directivo ni administrativo es 0,85.

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III


Respuesta:

Veamos unas a una las proposiciones:

I) FALSA: P(Guardia) = 42/300 que es distinto de 0,42.

II) VERDADERA: (96/300)100 = 96:3=32 %

III) VERDADERA: Directivos + Administrativos = 14 + 31 = 45

P(No Directivo No Administrativo) = (300-45)/300 = 255/300=51/60=0,85

Alternatuiva E), sólo II y III Verdaderas!

Fuente: DEMRE
NEM:
Eje Temático:
CMO:

Desafío - Probabilidad

Se hace girar 100 veces una ruleta que está dividida en 8 sectores iguales y se obtienen los anteriores resultados.


De acuerdo a la tabla de frecuencias, ¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?


I) La probabilidad de obtener un número impar es de un 50%.
II) La probabilidad de obtener los números 1 ó 3 es de un 25%.
III) La probabilidad de obtener el número 6 es de un 15%.


A) Sólo I
B) Sólo III
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II, III


Respuesta: Veamos una a una las aseveraciones:


I) P(Número Impar) = (10+15+16+9)/100 = 50/100 = 50 %, VERDADERA.
II) P(1 ó 3) = (10+15)/100 = 25/100 = 25 %, VERDADERA.
III) P(6) = 15/100 = 15%, VERDADERA.


Alternativa E)


Fuente: PreU P.Valdivia.
NEM: Medio.
Eje Temático: I
CMO:

Desafío - Ley de los Grandes Números

Respuesta:


La Ley de los grandes números nos dice que:


La frecuencia relativa con que se produce un suceso se irá acercando cada vez más a su probabilidad teórica, en la medida que el experimento sea realizado sucesivamente una mayor cantidad de veces.


D) es la alternativa correcta, entonces.


Fuente: Texto 2do. Medio - Eduardo Cid.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas
CMO: Probabilidad. Ley de los Grandes Números.

Desafío - Probabilidad

Si se tira una moneda 1.000 veces, ¿ Cuántas veces sale cara ?

A) 500 veces
B) 25 veces
C) 75 veces
D) Cerca de 500 veces
E) Siempre más de 500 veces

Respuesta:

Por la Ley de los Grandes Números, la probabilidad experimental (o a posteriori) debe acercarse a la probabilidad a priori o teórica en la medida que el número de experimentaciones crece.


Por esta misma Ley, la de los Grandes Números, cerca de la mitad debería salir cara, aunque esto no es una obligación.


Alternativa D)

Fuente: Edo. Cid Figueroa - Texto PSU Matemáticas.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Probabilidad

En una ruleta, la probabilidad de obtener rojo es de un 80%, entonces es cierto que:

A) De 100 lanzamientos 80 serán rojos.
B) En 8 de cada 10 lanzamientos se obtiene rojo.
C) Al repetir muchas veces el experimento, la freceuncia relativa del suceso "obtener rojo" se estabiliza en 0,8.
D) En más de la mitad de los lanzamientos se obtendrá rojo.
E) De 100 lanzamientos, en 20 no se obtendrá rojo.

Respuesta: Por la Ley de los Grandes Números, cuando repetimos un número alto de veces el experimento, la probabilidad experimental se acercará a la Teórica. Luego mientras más veces realicemos el experimento, la probabilidad experimental se va a ir estabilizando en 0,8 (=80%).

Alternativa C)

Fuente: 1ro. Medio Santillana Bicentenario - 2010
NEM: Segundo Medio (en PSU).
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.
CMO: Probabilidad.

Desafío - Probabilidad

En 5.000 lanzamiento de dos dados, ¿Cuántas veces, aproximadamente, se esperaría que la suma de los puntos obtenidos sea mayor que 8?

A) 500 ; B) 1000; C) 1390; D) 2420; E) No se puede saber.

Respuesta:

Mostremos todos los posibles resultados de lanzar 2 dados, poniendo en un par ordenado, de la siguiente forma: (lanzamiento dado 1, lanzamiento dado 2)

(1,1) - (1,2) - (1,3) - (1,4) - (1,5) - (1,6)

(2,1) - (2,2) - (2,3) - (2,4) - (2,5) - (2,6)

(3,1) - (3,2) - (3,3) - (3,4) - (3,5) - (3,6)

(4,1) - (4,2) - (4,3) - (4,4) - (4,5) - (4,6)

(5,1) - (5,2) - (5,3) - (5,4) - (5,5) - (5,6)

(6,1) - (6,2) - (6,3) - (6,4) - (6,5) - (6,6)

De ellos suman más que 8, los pares destacados. En total hay 10 pares ordenados de 36 que suman más que 8. La probabilidad teórica de que al lanzar dos dados, no sesgados, la suma de más que 8 es: 10/36 ....

Luego, por la Ley de los Grandes Números, que nos dice que cuando el número de veces que se repite un experimento es MUY grande, la probabilidad experimental se acerca a la teórica.

En 5.000 casos hay (10/36)(5.000) casos = 1388,88888....., aproximadamente 1390 veces.

Alternativa C)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío 64 - DEMRE 2012

64. Al lanzar dos dados comunes

I) 6 veces, siempre una vez la suma será 4.

II) 36 veces, siempre 3 veces la suma será 4.

III) 36 mil millones de veces, teóricamente alrededor de 3 mil millones de

veces la suma será 4.

Es (son) verdadera(s)

A) sólo I.

B) sólo II.

C) sólo III.

D) sólo II y III.

E) ninguna de ellas.

Respuesta: Este es un ejercicio que está nucleado en torno a la Ley de los Grandes Números.

Si exponemos en forma directa, el espacio muestral de lanzar dos daos, este será como sigue:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

En este espacio muestra, las parejas (1,2), (2,2) y (3,1) suman 4. es decir 4/36 = 1/12 suman, teóricamente 4.

Si nosotros lanzamos 6 veces dos dados, no es una exigencia de que la suma sea 4 al menos una vez. Pueden incluso salir las 6 veces el par (1,1) o el par (6,6). Esto invalida la propuesta I) y por argumento similar se invalida la propuesta II).

Lo que si podemos asegurar, para una gran lanzamiento de 2 dados, por la Ley de los Grandes Números, que (1/12) de las veces, la suma será 4. Es decir, para una gran cantidad de lanzamientos de estos pares de dados, la probabilidad experimental tiende a cercarse a la teórica.

Así, es muy probable que (1/12)36.000.000.000 = 3.000.000.000 sean parejas de dados cuyos puntos sumen 4.

Propuesta III) es verdadera, alternativa C)

Fuente: DEMRE 2012

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Probabilidad

Se lanza un dado 3.000 veces. El número de veces en que aparece un número par mayor que 3 se puede estimar en:

A) 500

B) 1.000

C) 1.500

D) 2.000

E) Ninguna de las Anteriores.

Respuesta:

La Probabilidad Teórica de que al lanzar un dado aparezca un número PAR mayor que 3, es 2 de 6 posibilidades (que aparezca el 4 o el 6) ....

Al repetir un experimento muchas veces (3.000 veces), la probabilidad experimental se va a ir acercando a la teórica .... luego es altamente probable que 1.000 de las veces aparezca un número PAR mayor que 3.

Alternativa B)

Fuente: Santillana 3ro. Medio.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III: Probabilidad y Estadística.

CMO: Ley de los Grandes Números.

Desafío - Ley de los Grandes Números

Según la Ley de los Grandes Números, ¿qué debería ocurrir al aumentar el número de lanzamientos de una moneda?

A) La mitad de los lanzamientos va a ser cara.
B) Después de un número de lanzamientos salen más caras que sellos.
C) La frencuencia con que sale sello se va aproximando a 0,5.
D) La frecuencia relativa con que sale cara se va aproximando a 0,5.
E) La frecuencia relativa con que sale cara se mantiene constante.

Respuesta:

La Ley de los Grandes Números nos ayuda a relacionar la Probabilidad Teórica con la Frecuencia Relativa de un experimento que se repite un número grande de veces.

En otro términos nos ayuda a establecer un vínculo entre Probabilidad a Priori (Teórica) y Probabilidad a Posteriori (o Experimental)

Es imprescindible que se hable de FRECUENCIA Relativa, sólo así nos aseguramos que la Frecuencia Relativa Experimental que asociamos a la probabilidad teórica sea un número entre 0 y 1 (inclusives). Una frecuencia cualquiera -no relativa- puede ser un número mayor que 1.

La Ley de los Grandes Números nos dice que "al repetir muchísimas veces un experimento, la frecuencia relativa de un suceso se va acercando cada vez más a su probabilidad teórica".

Esto valida la altermativa D)

Fuente: Libro 2do. Medio - Cid Figueroa E.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Ley de los Grandes Números.