Desafío - Números (Resuelto)

Si m y n son números enteros positivos y (m+n) es par, ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones representa(n) siempre un número par?

I) 2n + m
II) mn
III) m-n

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo II y III
E) I, II, III

Respuesta:

I) Sea n=1; m=3, luego (m+n)=1+3=4 es par, pero 2n + m = 2+3 = 5: NO ES PAR.

II) Sea n=1, m=3, luego n+m=4; pero mn = 3: NO ES PAR.

III) SIEMPRE es par .... pensemos: n=2p+1; m= 2q+1, ambos son impares por definición, luego al restarlos, se elimina el 1 y queda: (2p - 2q) ó (2q - 2p) que es par, SIEMPRE!

Alternativa C)

Fuente: PreU.P.Valdivia.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I.) Números.
CMO: Números. Números Pares e Impares.

Desafío - La pregunta polémica de la PSU (Problema Resuelto)

Respuesta: Aventuren sus respuestas !!!

En este problema cometí la misma -probable- equivocación que comete uno como estudiante (o profesor) .... intentar resolver el ejercicio, pero teniendo en cuenta sólo números enteros y peor aún, naturales .... Así fue que llegué equívocamente a la conclusión D).

Si uno incluso desarolla el cubo y el cuadrado, Y SIGUE PENSANDO EN "p" como un ENTERO O NATURAL, es muy fácil mostrar que si las dos expresiones son pares, necesariamente "p" debe serlo ....

Pero OJO, nadie ha dado restricción alguna a "p" ....

Es así, que el razonamiento de Hernán Iriarte (en fmat y matemáticos 2011) es correcto .... pensemos en que:

Haga un click sobre la imagen para agrandarla !!!!

Según mi criterio, se necesita otra restricción, para asegurar que dadas esas condiciones, p es par !

Alternativa E)

Fuente: DEMRE - Adnisión 2013
NEM: 1ro. Medio.
Eje Temático: I.) Números.
CMO: Números.

Desafío - Números (Problema Resuelto)

Respuesta:

Desafío - Números

Si x=4t, donde t es un entero, entonces se puede afirmar que:

I) x es par.
II) x-4 es divisiblepor 4.
III) 3x es divisible por 6.

A) Sólo I
B) Sólo I y II
C) Sólo I y III
D) Sólo II y III
E) I, II, III

Respuesta: Verifiquemos una a una las aseveraciones I, II, III:

I) x es par: VERDADERA, x=4t; x=2(2t) .... Es siempre un número PAR.

II) (x-4) = 4t-4 = 4(x-1) .... Es siempre divisible por 4. VERDADERA.

III) 3x = 3(4t) = 3(2(2t))=6(2t), es siempre divisible por 6. VERDADERA.

Las Tres son verdaderas, Alternativa E)

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Fuente: PreU. P. de Valdivia.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Números.