Desafío - Planteo de Ecuaciones.

Tres números consecutivos suman cero. Entonces es verdadero que:

I) El número mayor y el menor suman cero.

II) El cuadrado del menor es igual al cuadrado del mayor.

III) La diferencia entre el mayor y el menor es cero.

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) Sólo I y II.

D) Sólo II y III.

E) I, II, III.

Respuesta: Pensemos en los números enteros consecutivos como sigue:

Menor = x

el del medio = x + 1

Mayo = x+2

El enunciado dice que suma cero:

(x) + (x+1) + (x+2) = 0

3x + 3 = 0

3x = -3

x = -1

Luego los tres números son: (-1) (0) y (1)

I) Verdadera, pues el número mayor y el menos suman cero:

(-1) + (1) = 0

II) Verdadera, pues el cuadrado del menor y el mayor son iguales:

(-1)(-1) = (1)(1) = 1

III) Falsa, pues la diferencia entre el mayor y el menor es:

(1) - (-1) = 2

Fuente: DEMRE.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.

CMO: f. Ecuación de Primer Grado.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Según el sistema anterior, ¿Cuál es el valor de y?

A) 6b

B) 3b

C) b

D) -b

E) -3b

Respuesta: Sumemos a la Primera Ecuación la segunda multiplicada por (-1)

x + y = 7a + 3b

-x + y = -7a + 3b

Sumando:

2y = 6b

y=3b,

Alternativa B)

Fuente: DEMRE

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Ecuación de la recta

En la figura se muestra el gráfico de la recta de ecuación:

y = px + q

¿ Cuál es el valor de q ?

A) 1

B) 2

C) 0

D) -1

E) -2

Respuesta: En la fórmula en que nos piden expresar la recta, "q" es el Y-Intercepto ... y en la gráfica el Y-Intercepto es 2. Alternativa B)

Para otra mirada:

Usando la ecuación por segmentos, podemos establecer:

x/(-2) + y/2 = 1

Multiplicando por (2)

-x + y = 2

despejando y, para dejar como en la ecuación requerida:

y = x + 2

Comaparando con

y = px + q

q=2

Fuente: DEMRE

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra Y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Ecuación de la recta.

Desafío - Superficie TOTAL de un cubo

Se desea forrar una caja cúbica de arista a.

¿Cuál de las anteriores

expresiones representa la superficie a cubrir?

Respuesta:

Alternativa B)

Fuente: DEMRE

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: II. geometría.

CMO: Geometría del Espacio.

Desafío - Volúmenes

Respuesta:

Fuente: DEMRE

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Geometría del Espacio.

Desafío - Area y Perímetro

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente: DEMRE

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: II. geometría.

CMO: Geometría del Espacio.

Desafío - Volumen

Respuesta: Como el volumen del prisma es (area Basal)(Altura) y la altura ya la tenemos, nos concentramos en determinar el área basal. En la base hay un Hexágono.

Cada lado del hexágono mide (raíz de 2). Y cada triángulo como los que se han marcado es Equilátero .... veamos ....

Alternativa A)

Fuente: DEMRE

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: II. geometría.

CMO: Geometría del Espacio.

Bibliografía Usada en este Blog

Poco a poco voy a ir llenando este espacio.

Con la intección de que pudiera ser referencial para estudiantes y educadores.

Libros Esenciales:

1) Manual de Preparación MATEMATICA. Ediciones Universidad Católica de Chile. Autores: Tapia Oscar, Ormazábal Miguel, López David, Olivares Jorge.

2) Proyecto PSU Matemáticas. Editorial Zig Zag.

Ensayos:

1) Guías PSU DEMRE. Compilado hasta el 2008. Hecho por el profesor de Matemáticas y Física: Álvaro Sánchez Vásquez.

Se puede bajar desde:

http://preparalapsu.wordpress.com/2010/02/15/libro-recopilacion-y-consejos-psu-matematicas/#comment-33

2) Faccimiles Ensayo PSU - Pre Universitario Pedro de Valdivia.

Consultas en: www.pedrodevaldivia.cl

3) Pruebas de Selección Universitaria. Ensayos según modelo oficial, revisado por el DEMRE de la Universidad de Chile. Editorial Universitaria - U. de Chile.

Desafío - Inecuaciones.

Se puede determinar la edad que tiene Ximena si:

(1) tuviese 2 años más de los que tiene, no alcanzaría a tener 20 años.

(2) tuviese 2 años menos de los que tiene, tendría más de 14 años.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

Respuesta: Nota que se está pensando en edad como números enteros, no como una edad que incluya un número entero y una fracción .... quizás en este sentido el problema le falta ser más explícito ...

Alternativa C)

Fuente: Faccímil P. Valdivia.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Inecuaciones.

Desafío - Suficiencia de Información

P y Q en conjunto tienen un capital de $ 10.000.000, ¿Cuál es el capital de Q?

(1) Los capitales de P y Q están en razón de 3:2.

(2) P tiene $ 2.000.000 más que Q.

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

Respuesta: Analizamos cada una por separado y juntas ....

(1) tenemos del enunciado que P + Q = 10.000.000

tenemos por (1) que P/Q=3:2

Este es un sistema de Ecuaciones 2 x 2 compatible! Se puede resolver!

(2) tenemos del enunciado que P + Q = 10.000.000

tenemos de (2) que P = Q + 2.000.000

Este también es un sistema de Ecuaciones de 2x2 compatible! Se puede resolver !

Cada una por sí sola! Alternativa D)

Fuente: Faccímil P. Valdivia.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. II. Álgebra y Funciones.

CMO: Razones. Ecuación de Primer Grado

Desafío - Suficiencia de Información

En el círculo de centro O, se puede determinar el área de la zona sombreada si:

(1) Se conoce el área del triángulo OPQ.

(2) Trazo OP es perpemdicular a Trazo OQ ; Trazo OP=20 mm

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).

E) Se requiere información adicional.

Respuesta:

(1) Si se conoce el área del triángulo, no se puede saber el área sombreada sin conocer el ángulo del centro que define la región y NO podemos suponer que es de 90º aunque en la figura lo parezca. Por lo tanto con sólo (1) no es posible!

(2) Conocido el radio y que los radios del triángulo don perpendiculares, se puede sacar el área del triángulo (dos catetos radios) y el área del trozo de pie o sector circular, con la proporción:

360º ---------- Área del círculo

90º ----------- x (Área trozo de pie o sector circular)

(Area Trozo de pie o sector circular)= (1/4) Área del Círculo.

Fuente: Faccímil P. Valdivia.

NEM: primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Geometría Básica.

Desafío - Potencia Geométrica

En la figura:
Trazo PA = 16
Trazo AB = Trazo PA/4
Entonces, medida de trazo PT es:
Respuesta:
Fuente: CEPECH
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Trazos Prporcionales en el círculo.

Desafío - Estadígrafos

La frecuencia de la moda de la muestra {2,2,3,3,4,4,4,5,7,7} es:

A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
D) 7

Respuesta: La moda es 4, pues es el dato que más se repite (3 veces). su frecuencia es 3. Alternativa B)

Fuente: CEPECH Faccímil.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Estadísticas. Estadígrafos.

Desafío - Conjuntos Numéricos

El anterior número es:

A) Imaginario.
B) Irracional.
C) Entero.
D) Natural.
E) Todoso los anteriores.

Respuesta: Raíz cúbica de (-64) = -4, puesto que (-4)(-4)(-4) = -64. Este es un número entero.

No es imaginario, no va acompañado de "i".

No es irracional, porque se puede expresar como fracción: -64/1

No es natural, porque es negativo!

Fuente: CEPECH Faccímil.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporciones.
CMO: Conjuntos Numéricos.

Desafío - Circunferencias Tangentes

Sean 3 circunferencias tangentes exteriormente

de radios 3, 4 y 5 cm, respectivamente.

Determine el perímetro del triángulo que se forma al unir sus centros.

A) 12
B) 19
C) 21
D) 24
E) 27
Respuesta: Se forma un triángulo en que cada lado es la suma de 2 radios, unidos colinealmente en los puntos de tangencia.

El perímetro es: 3+3 + 4+4 + 5+5 = 24 .... Alternativa D)

Fuente: CEPECH Faccímil.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Geometría Básica.

Desafío - Relaciones y Funciones

Se define la relación: R = { (1,2) ; (2,1) ; (3,1) ; (4,3) }. Si el dominio es el conjunto A={1,2,3,4}, ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

A) R es una función inyectiva.
B) R no es función.
C) Dominio de la (Inversa de R) = {1,2,3}.
D) (Inversa de R) es una función.
E) R es una función biyectiva.

Respuesta: Pongamos la función en un diagrama de Venn:

Revisemos cada una de las aseveraciones:

A) Falsa: No es inyectiva porque el elemento "1" del recorrido, tiene dos pre-imágenes en el Dominio.

B) Falsa: es función porque todos los elementos del dominio tienen una imagen en el recorrido y ninguno de ellos tiene una doble.

C) VERDADERA: El Dominio de la Inversa de R es {1,2,3}

D) Falsa: La Inversa de R No es Función porque un elemento de su Dominio (Del Dominio de la Relación Inversa) tendría 2 imágenes.

E) Falsa: No puede ser biyectiva porque no es inyectiva.

==================================

Fuente: CEPECH Faccímil.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Funciones.

Desafío - Porcentaje

¿ De qué número 8 es el 25 % ?

A) 64
B) 56
C) 48
D) 40
E) 32

Respuesta: Llamaremos x a ese número buscado, luego su 25 % es (25/100)x y debe ser igual a 8, entonces:

(25/100)x = 8

25x=800

x=800/25

x=32, Alternativa E)

Fuente: CEPECH Faccímil.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Variaciones Porcentuales.

Desafío - Análisis de Raíces

Dada una ecuación cuyo discriminante es -1, entonces se tiene que sus dos raíces son:

A) NO tiene raíces.
B) Tiene dos raíces distintas.
C) Tiene dos raíces iguales.
D) Tiene sólo una raíz.
E) Las dos raíces son siempre positivas.

Respuesta: Cuando el discriminante es negativo, hay dos raíces NO Reales, sino Complejas y Conjugadas. La única alternatuva - aunque NO completa - es B)

Alternativa B)


Fuente: CEPECH Faccímil.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuación Cuadrática.

Desafío - Proporcionalidad

Tres máquinas confeccionan 400 pares de calcetines en 8 horas. ¿Cuántos pares de calcetines confeccionan 24 máquinas en 1 hora?

A) 225
B) 250
C) 300
D) 345
E) 400

Respuesta: Llamaremos:

Nm: Número de máquinas.

Cp: Cantidad de pares

H: Horas trabajadas.

Nm y Cp están en relación de Directa Proporcionalidad: Nm/Cp = Kte1.

Nm y H están en relación de Inversa Proporcionalidad: (Nm)(H) = Kte2.

H y CP están en relación de Directa Proporcionalidad: H/Cp=Kte3.

Estas tres combinaciones se pueden poner en una sola así:

{(Nm)(H)}/CP = Kte. Luego, usando las dos situaciones dadas:

(3)(8)/400 = (24)(1)/x

x= 400; Alternativa E)

Fuente: CEPECH Faccímil.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.
CMO: Variaciones Proporcionales.

Desafío - Perímetro

Respuesta: Transformemos la figura poco a poco tomando en cuenta los paralelismos posibles:

Alternativa B)

Fuente: DEMRE

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: Geometría.

CMO: Geometría Básica. Perímetro

Desafío - Áreas

En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3cm.

Además sabemos que CQ =

Si P, B y Q son puntos colineales, entonces el área de la región no sombreada mide:

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: DEMRE

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: Geometría.

CMO: Geometría Básica. Áreas

Desafío - Areas

En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es:

Respuesta: Utilizaremos restas de áreas!

Alternativa B)

Fuente: DEMRE

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Geometría Básica. Áreas.

Desafío - Areas

En la figura anterior el radio OR mide "a".

Entonces la superficie achurada (Rojo) mide:

Respuesta: OJO este es un problema tipo de Prueba Específica .... por eso es un poco más cmplejo y largo!

Alternativa E)

Fuente: Carlos Marcado Schüler - Test de Matemáticas. 3064 Problemas.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: geometría Básica.

Desafío - Geometría

Respuesta:

Revisaremos cada una de las aseveraciones:

I.) Todos son cuadrados y cada área sombreda es un cuarto de circunferencia porque el arco de cada una de ellas va desde los extremos de las diagonales. El radio de la circunferencia es justamente (1/2)BC. VERDADERA.

II) Cada ñrea sombreada es un cuarto de circunferencia, de radio (1/3)AB, pero el perímetro de una circunferencia con este radio es distinto que el perímetro de lo sombreado, porque en este perímetro entran no sólo los cuartos de arco de circunferencia sino también 6 radios! FALSA!

III) Esta solución me dió un chico que estudia conmigo y es muy sensata:

Pensemos que el lado del cuadrado es 1. Luego el perímetro de ABCD es:

2(2+3)=10

Veamos ahora el perímetro de la región sombreada:

8 radios + Perímetro de la circunferencia= 8 + 2(Pi)(1) = 8 + 6,28 (Aprox) que es MAYOR que el perímetro de ABCD ... VERDADERA!

Aternativa E)

Fuente: DEMRE

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Geometría Básica.

Desafío - Geometría en Coordenadas cartesiana

Respuesta: El trazo AB es la diagonal de un cuadrado de lado 2, por tanto mide ( 2 raíz de 2). Veamos por qué:

Fuente: DEMRE

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Geometría Básica.

Desafío - Probabilidades

En una Urna hay 20 bolitas,

y la probabilidad de extraer al azar una bolita ROJA de ella es de un 40%.

¿Cuántas bolitas hay en la urna que no son rojas?

A) 4
B) 8
C) 12
D) 16
E) No se puede determinar.

Respuesta: 40% de las 20 es: 8, por tanto hay 12 NO Rojas!

Fuente: 2do.Medio PSU - MN/P.Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Probabilidades y Estadística.
CMO: Regla de Laplace

Desafío - Funciones.

Si una función se define como antes, entonces f(3)=?

A) -125

B) -3

C) -1

D) 1

E) 3

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: 2do.Medio PSU - MN/P.Valdivia.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Funciones

Desafío - Indefinición de Fracción Algebraica

¿Para qué valores de t, la expresión anterior está indefinida?

A) 3/4
B) 1/4
C) 0
D) -1/4
E) -3/4

Respuesta: Está indefinida cuando: 3t - 3/4=0

Esto implica que sucede cuando 3t = 3/4

Dividiendo por 3:

t = 1/4 ; Alternativa B)

Fuente: 2do. Medio - MN/P.Valdivia
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Fracciones Algebraicas.

Desafío - Fracciones Algebraicas

¿Para qué valor de m, la expresión: m/{2(4-m)} no está definida?

A) 0
B) 2
C) 4
D) 8
E) -4

Respuesta: Cuando m= 4, el denominado se hace CERO, cuestión no permitida!

Alternativa C)

Fuente: 2do. Medio - MN/P.Valdivia
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Fracciones Algebraicas.

Desafío - Razones

La razón de las magnitudes de 2 trazos, en centímetros, es a/b. ¿Cuál es la razón de las longitudes de estos trazos en metros?

A) (100a)/b
B) a/(100b)
C) (a+100)/(b+100)
D) (0,01a)/b
E) a/b
Respuesta: Para pasar cm a metros debemos dividir por 100, dado a que 1 metro es igual a 100 centímetros: Hacemos lo mismo en el numerador como en el denominador:

Se mantiene la misma razón, cuando uno la expresa en metros! Alternativa E)

Fuente: 2do. Medio - MN/P.Valdivia
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Razones entre trazos o segmentos