Desafío - Perpendicularidad de Rectas

La Ecuación de la recta L2 está dada por y+mx+3 = 0

¿Cuál debe ser el valor de m, para que las rectas l1 y l2 setén representadas en el gráfico?

A) 1/3
B) -1/3
C) 3
D) -3
E) 2

Respuesta: L2 debe ser perpendicular a L1

L1 está determinada. Pensamos en la Ecuación por segmentos (buscar en etiquetas del blog):

x/6 + y/2 = 1

Multiplicamos por 6

6(x/6) + 6(y/2) = 6

x + 3y = 6

3y = -x + 6

y= (-1/3)x +2

Luego la pendiente de L1 es = m1 = -1/3

La pendiente de L2 debe ser =m2= 3, para que:

(m1) = -1/(m2)

En la ecuación: y + mx + 3 = 0

y = -mx -3

-m = 3

m= -3

Alternativa D)

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Fuente: Ensayo PSU - Labbé Díaz Claudio - 2004 - Forma 2
NEM: segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Ecuación de la Recta. Condición de Perpendicularidad.

Desafío - Altura de una torre

Respuesta: La altura del poste se puede calcular usando criterios de semejanza.

Hay dos triángulos semejantes:

El triángulo Mayor donde el cateto vertical es el poste Y el triángulo menor donde el cateto vertical es la altura de Nicolasa.

Son semejantes por AA (Criterio de Semejanza que dice que basta que dos ángulos sean congruentes para que los triángulos -de distinto tamaño- sean semejantes).

Ambos triángulos comoarten un ángulo en común y tienen cada uno además un ángulo recto en los catetos mencionados (altura del poste y de la Nicolasa). Veamos:

Luego, si los dos triángulos son semejantes se puede establecer la siguiente proporción:

H/30 = 1,6/6

Despejando:

H = 30 x (1,6/6) = 5 x 1,6 = 8,0, Alternativa E)

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Fuente: Manual PSU Matemática - U.Católica. Tapia Rojas y otros.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Semejanza.

Desafío - Valor Absoluto a una Cuadrática

Respuesta: Este ejercicio se puede razonar de la siguiente forma:

Primero pensamos en la gráfica de:

Si a la anterior función le restamos 2, lo que sucederá es que la función se desplazará en 2 unidades hacia abajo, VERTICALMENTE:

Luego, al tomar valor absoluto a la anterior función, todos los valores negativos de la curva se hacen positivos. Por ejemplo, la curva que tenía su vértice en (-2), transforma este (-2) en 2, y la curva se "ABATE" hacia arriba, como si en el eje OX hubiera un espejo.

La alternativa correcta es E)

===================

Fuente: Creación Personal.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra Y Funciones. 2. Funciones.

CMO: e. Función Valor Absoluto.

Buenos resultados en el colegio se encadenan a buenos resultados en la Universidad ....

Lunes 03 de Agosto de 2009

A los mejores alumnos del colegio también les irá bien en la educación superior
(Investigan Francisco Meneses y Sebastián Gallegos)

Para estudiar este encadenamiento, se analizaron más de nueve mil alumnos de primero año de todas las carreras y con todos los puntajes de ingreso de las universidades Católica, de Santiago, Católica de Temuco y Católica de Valparaíso. Y en todos los planteles el resultado fue el mismo: quienes obtienen las notas más altas de sus colegios (independientemente de cuál sea esta nota), también estarán entre los mejores de sus carreras.

"Comparamos dos alumnos con el mismo puntaje de ingreso, la misma PSU y las mismas notas de enseñanza media, pero diferentes en ránking dentro de su colegio. Y encontramos que aquellos alumnos que venían de estar entre, por ejemplo, el 10% superior de su colegio tenían dos décimas más en su rendimiento universitario en el primer año", dice Francisco Meneses, Master en Economía Aplicada de la Universidad de Wisconsin-Madison.

-

Nota del Blogger - Esto es MUY importante:

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El estudio muestra que el ranking no sólo es un indicador de las notas y los conocimientos de los jóvenes, sino que además revela otro tipo de habilidades no cognitivas, como esfuerzo, hábitos de estudio, motivación y resiliencia, entre otros.

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Fuente: El Mercurio.

ehhhhhh !!!!!

pasamos las 3.000 visitas !!!! Vamos que se puede, la PSU es posible !!!!

Desafío - Raíces

Respuesta:

2 : 3,16 =

2000 : 316 = 0,63

1896

====

1040

948

====
92 (Resto)

Alternativa E) aproximadamente ....

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Fuente: Preuniversitario P. de Valdivia

NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 1. Álgebra.
CMO: Raíces Cuadradas.

NEM: Tercero Medio.

Habilidades Intelectuales PSU Matemáticas

HABILIDADES INTELECTUALES MEDIDAS POR LA PRUEBA DE MATEMATICAS

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PARA RESPONDER LAS PREGUNTAS DE ESTA PRUEBA SE REQUIERE QUE LOS POSTULANTES HAYAN DESARROLLADO LAS SIGUIENTES HABILIDADES INTELECTUALES, ES DECIR, SEAN CAPACES DE:

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RECONOCER HECHOS ESPECÍFICOS: captar el sentido de terminologías propias de la matemática; reconocer algoritmos y procedimientos rutinarios; reconocer distintas maneras de expresar números; transformar elementos de una modalidad a otra, etc.

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COMPRENDER: información en el contexto matemático lo que exige del postulante capacidad de transferencia y generalización, lo que, a su vez, demanda una mayor capacidad de abstracción. Es decir, manejar conceptos, propiedades, reglas y generalizaciones; comparar magnitudes; leer e interpretar datos de gráficos y/o diagramas; interpretar las relaciones existentes en un problema sencillo; manejar informaciones en sus diversas formas; realizar estimaciones; emplear información recién recibida; etc.

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APLICAR LOS CONOCIMIENTOS: matemáticos tanto a situaciones conocidas como a problemas relativamente nuevos y a otros desconocidos. En este contexto, el postulante debe ser capaz de utilizar diversas estrategias para resolver problemas; realizar comparaciones a la luz del problema; resolver problemas de rutina; descomponer y organizar información que se presenta en diversas formas; elaborar información necesaria para resolver un problema; etc.

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ANALIZAR, REALIZAR SÍNTESIS Y EVALUAR: Estos son los procesos intelectuales superiores, es decir, aquí el grado de complejidad es mayor que en las categorías anteriores. En forma particular corresponde, entre otras, a la capacidad para inferir relaciones que se dan entre los elementos de un problema; descubrir patrones y regularidades; sacar conclusiones a partir de una información dada; efectuar abstracciones de figuras geométricas, gráficos y diagramas, para resolver problemas; y evaluar la pertinencia de las soluciones de un problema.

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Fuente: DEMRE

Desafío - Perímetro y Área

En la figura, PT y PQ son tangentes a la circunferencia de centro O.

Calcular el área (A) y el perímetro (P) del cuadrilátero PTOQ

A) A = 168 ; P = 62

B) A = 576 ; P = 48

C) A = 62 ; P = 168

D) A = 350 ; P = 62

E) No se puede calcular.

Respuesta:

Ahora que están los datos es posible calcular el área y perímetro pedido.

Recordemos que el área de un Triángulo Rectángulo es el semiproducto de los catetos .... El cuadrilátero es la unión de dos triángulos rectángulos congruentes.

Alternativa A)

Fuente: 1ro. Medio - Matemáticas - Santillana - 1999
NEM: Primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Conceptos Básico de Geometría.

Desafío - Notación Científica

Escriba en Notación Científica los números:

0,00375 y 19,25057




Respuesta: La notación científica es una forma de representar un número como el producto entre un número entre 1 y 10 (sin contar el 10) y una potencia de 10.


En términos estrictos:

Luego los términos propuestos se expresan en notación Científica como:

La correcta entonces es la alternativa B)

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Fuente: Santillana 1ro. Medio, 1999

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: e. Potencias.

Desafío - Logaritmos

La expresión es equivalente a:

A) 1 + log a

B) 1- (1/3) log a

C) 1 - 3 log a

D) (1/3) log a

E) (-1/3) log a

Respuesta: Para resolver vamos a recordar los siguientes elementos:

Ahora, usando estos recuerdos:

Alternativa B)

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Fuente: Libro Ejercicios - 4to. Medio - Santillana

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Logaritmos.

Desafío - Estadística

Un profesor tras ser calificado por sus 25 educandos, obtuvo el siguiente resultado:

Muy bueno = 60 %
Bueno = 20 %
Regular = 12 %
Malo = 8 %

¿Cuál es la frecuencia absoluta de la opción que representa la categoría regular?

A) 5
B) 10
C) 15
D) 3
E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

Decir que Regular es un 12% es usar una frecuencia relativa, expresada porcentualmente.

Para pasar a Frecuencia Absoluta, calculamos el 12% de 25.

x/12% = 25/100

Multiplicamos cruzado: x= (12/100)25 = 3. Alternativa D)

Fuente: Libro Ejercicios - 4to. Medio - Santillana
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Estadística Descriptiva.

Desafío - Crecimiento de Población

El crecimiento de una población de bacterias en un tiempo t (minutos) está dado por la relación

¿Cuántas bacterias habrá luego de 4 minutos?

A) Aproximadamente 9.000

B) Aproximadamente 10.000

C) Aproximadamente 90.000

D) Más de 100.000

E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

Nota 1: La función tiene expresado el tiempo en minutos, por tanto sustituimos en ella 4 minutos.

Nota 2: luego aproximamos "e" eleveado a 0,96 simplemente por "e" elevado a 1.

Nota 3: Aproximamos "e" por 2,7.

Aproximadamente 90.000, alternativa C)

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Fuente: Libro Ejercicios - 4to. Medio - Santillana

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Exponencial.

Desafío - Aristas de un poliedro

Si un poliedro tiene 4 caras y 4 vértices, ¿Cuántas son sus aristas?

A) 2
B) 3
C) 6
D) 12
E) 30

Respuesta: El poliedro en cuestión es la pirámide, tal como se la representa acá:

Alternativa C)

Fuente: Libro Ejercicios - 4to. Medio - Santillana
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría del Espacio.

Desafío - Función Parte Entera

¿Cuál de los siguientes grafos puede representar la Función Parte Entera?

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) Sólo III.

D) Sólo I y III.

E) I, II, III.

Respuesta: La Función Parte Entera de x, se refiere al mayor entero que es menor o igual a x y se denota como (y a veces se lee como función CAJÓN de x) :

Para un x cualquiera,

por ejemplo 5,8: Cajón de (5,8) es el mayor entero menor o igual a 5,8 = 5

por ejemplo 4,0: Cajón de (4,0) es el mayor entero menor o gual a 4,0 = 4

por ejemplo -3,7: Cajón de (-3,7) es el mayor entero menor o igual a -3,7 = -4

por ejemplo -3,8: Cajón de (-3,8) es el mayor entero menor o gual a -3,8 = -4

Por tanto, esta función se verá como una escalera (o escalonada) , y los peldaños tendrán altura igual a la unidad.

Es un caso particular de una función definida por tramos.

La alternativa correcta es A), Sólo I)

II) Es la función Constante.

III) Es el caso particular de una Función definida por tramos.
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Fuente: Faccímil PSU - Farías Gatica Reinaldo

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Función Parte Entera.

Deasfío - Volumen

En una caja cilíndrica caben exactamente tres pelotitas todas de igual radio r, una encima de la otra, como se muestra en la figura. El volumen no cubierto por las pelotitas es:



Respuesta: Restamos al volumen del cilindro, el volumen de las tres pelotitas ...

Nota 1 : Las tres pelotitas poseen igual radio, entonces poseen igual volumen.
Nota 2 : El radio del cilindro es el mismo que el de las pelotitas ...


La respuesta correcta es B)


Fuente: PSU 2009
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. geometría.
CMO: Relaciones entre cuerpos geométricos, por ejemplo: uno inscrito en otro.

Desafío - Volúmen

Si la diagonal de un cubo es en cm
¿Cuál es el volumen del cubo?

Respuesta: Veamos la expresión de la diagonal de un cubo en función del lado del cubo (= a)
Igualando al dato dado:

El volumen encontrado concuerda con la alternativa B)

Fuente: Faccímil PSU - Farías Gatica Reinaldo
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Geometría del Espacio - Volumen.

Desafío - Logaritmos

Al reducir la expresión anterior tendremos:

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: Faccímil PSU - Farías Gatica Reinaldo

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: b. Logaritmos.

Desafío - Logaritmos

En la igualdad:

el valor exacto de x es?


A) 2
B) 1/2
C) 3
D) 1/3
E) Ninguna de las anteriores.


Respuesta: Usamos la regla de trasposiciñon entre Logaritmos y Potencias .... luego enfrentamos una Ecuación Exponencial ....

Alternativa B)

Fuente: Faccímil PSU - Farías Gatica Reinaldo
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: b. Logaritmos

Desafío - Función Valor Absoluto

El gráfico que mejor representa la anterior función es:

Respuesta: La gráfica de la función Valor Absoluto es una especie de "V" cuyo vértice está en el origen (0,0), veamos:

Al graficar ahora f(x) = x-1

lo que hace el "1" es desplazar horizontalmente la curva .... miremos la gráfica de esta nueva función:

Luego, la alternativa correcta es: E)

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Fuente: Faccímil PSU Matemáticas - Farías Gatica Reinaldo

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: e. Función Valor Absoluto.

Desafío - Estadísticas

El siguiente gráfico muestra las precipitaciones caídas en una ciudad durante un año. Se puede concluir a partir del gráfico que:

A) Las precipitaciones acumuladas en los meses de marzo y abril son iguales a las precipitaciones del mes de junio.
B) El promedio de precipitaciones en los meses de marzo, abril y mayo fue 15 mm.
C) Hay 5 meses que no presentan precipitaciones.
D) El total de precipitaciones en los meses de junio, julio y agosto fue 180 mm.
E) No se pueden sacar conclusiones a partir del gráfico.

-
Respuesta:

A) Falsa: Marzo y Abril acumulas 10 + 20 que es distinto de Junio (40)
B) Falsa: Marzo + Abril + Mayo = 10+20+20 = 50 ; 50/3 no es 15.
C) Falsa: sólo hay 4 meses en que no llovió.
D) Verdadera: 40 + 60 + 80 = 180!

Ya no es necesario revisar la E) porque hemos encontrado una afirmación verdadera!

Alternativa D)

-

Fuente: Faccímil PSU Nro. 1 - Farías Gatica Reinaldo.
NEM. Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Interpretación de datos provenientes de distintos contextos.

Desafío - Esadística

La tabla muestra la distribución de notas de un curso de matemática de 35 educandos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdaderas?

I) 11 educandos tienen nota inferior a 4.

II) La mediana es 5,1.

III) La moda es 5.

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) Sólo II y III

E) Sólo I y III

Respuesta: Revisamos cada una de las aseveraciones:

I) VERDADERA, tienen nota inferior a 4: 4 educandos (tienen un 3) + 5 educandos (tienen un 2) + 2 educandos (tienen un 1) = 4+5+2 = 11.

II) FALSA: Como son 35 datos, un número impar, la mediana va a ser el dato 18, porque 17 x 2 = 34.

Hay 17 datos antes que el dato 18

Hay 17 datos después que el dato 18

Luego, la mediana es: 4, porque el dato 18 es un 4.

1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7

III) VERDADERA: La moda es 5, el dato que más se repite: se repite 10 veces!

Verdaderas I y III, Alternativa E)

Fuente: Faccimil PSU nro. 1 - Farías Gatica Reinaldo

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.

CMO: Estadística Descriptiva.

Desafío - Estadística

En una muestra de alumnos de un colegio se tiene la siguiente distribución de edades:



¿Cuál de las siguientes fórmulas permite calcular la edad promedio de los alumnos de esta muestra?

Respuesta:

Hay dos fórmulas para la Media o Promedio ....

1) (Suma de todas las edades de la muestra)/(número de datos de la muestra)

2) (Suma de: todas las edades x su frecuencia) / (Suma de todas las frecuencias)

Justamente quien encarna esta segunda fórmula es la alternativa C)

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Fuente: DEMRE 2009

NEM:

Eje Temático:

CMO:

Desafío - Ecuación de la Recta

Una fábrica de lámparas tiene un costo fijo de producción de $ 1.000.000 mensuales y costos varios por lámpara de $ 5.000. Si x representa el número de lámparas producidas en un mes, ¿cuál de las siguientes expresiones representa la función costo C(x)?

A) C(x) = x + 1.005.000
B) C(x) = 1.000.000x + 5.000
C) C(x) = 1.005.000x
D) C(x) = 5.000x + 1.000.000
E) C(x) = (x – 5.000) + 1.000.000

Respuesta:

El costo fijo = 1.000.000 es el Y-Intercepto, equivalente a "n" en la ecuación: y=mx+n
El costo varios por lámpara es la pendiente, equivalente a "m" en la ecuación: y=mx+n

Luego, usando la ecuación: y = mx + n, tendremos:

El costo en función de x camisas producidas:

C(x) = 5.000 x + 1.000.000,

Alternativa D)

Fuente: DEMRE 2009

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Ecuación nde la recta.

Desafío - Ecuación de Segundo Grado.

Se tiene la función cuadrática:

, entonces, la suma de las distancias al origen desde cada uno de los puntos en que la parábola intersecta a los ejes coordenados es:

A) 11
B) 10
C) 9
D) 8
E) 7

Respuesta:

Resolvamos la ecuación: Vemos que la función cuadrática es factorable:

OJO que hay tres cortes en los ejes:

(-1,0)

(-3,0)

(0,3)

Las distancias (al origen) sumadas son : 3+3+1, Alternativa E)

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Fuente: Prueba Selección Universitaria - Revisado x DEMRE - Editorial Universitaria.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: Ecuación de Segundo Grado.

Desafío - Ecuación de la Recta

La Pendiente de la recta de gráfico de la figura es:

A) 5/2

B) -2/5

C) -5/2

D) 2/5

E) -3

Respuesta:

Método 1)

Calculemos simplemente m, la pendiente, acorde a lo que su concepto nos sugiere:

m = (Variación de Y)/(Variación de X)

Al pasar del punto (0,2) al punto (5,0) vemos que:

La variación de Y es negativa.

La variación de X es positiva.

Variación de Y = -2

Variación de X = 5

m = -2/5, Alternativa B)

Método 2) muy similar al anterior:

usamos la fórmula de la pendiente teniendo dos puntos:

(x1,y1) = (0,2)

(x2,y2) = (5,0)

m = (y2 - y1)/(x2-x1) = (0-2)/(5-0) = -2/5

Método 3)

Usamos el concepto de Ecuación por segmentos, que se retrata muy bien en el siguiente dibujo:

La idea es que los segmentos que la recta determina en los ejes X e Y nos sirven para contrar rápidamente la ecuación:

En nuestro caso los segmentos son 5 en eje X, 2 en eje Y, por tanto la ecuación por segmentos es:

x/5 + y/2 = 1, multiplicando por 10 para sacar los denominadores:

2x + 5y = 10 , Trasponiendo la "x"

5y = 10 - 2x, dividiendo por 5 para dejar libre la "y"

y = 2 + (-2/5)x

y = (-2/5)x + 2 ...... hacemos memoria con la forma: y = mx + n

de donde m, el factor que acompaña a la x es m=-2/5
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Fuente: Faccímil PSU Nro. 4 - Farías Gatica Reinaldo
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Ecuación de la Recta.

Desafío - Ecuación de Segundo Grado.

Si

x+5 - 20/x = 16/x,

entonces el mayor valor de x, elevado a sí mismo, es

A) 4
B) 8
C) 16
D) 32
E) 256

Respuesta:
Resolvamos la ecuación, multiplicándola por "x", para que "x" desaparezca del denominador ...

La mayor de las raíces es la segunda ( 4 es mayor que -9). 4 elevado a 4 es:

4 x 4 x 4 x 4 = 256.

Alternativa E)

Fuente: Prueba Selección Universitaria - Revisado x DEMRE - Editorial Universitaria.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.
CMO: Ecuación de Segundo Grado.

Desafío - Ecuación

Si a la fracción (1/10) se le agrega a su numeradr el doble de cierto número y luego se sustrae del denominador respectivo dicho número se obtiene la unidad. ¿Cuál es el doble del número?

A) 1
B) 4,5
C) 6
D) 10
E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta: Primero visualizamos la fracciñon (1/10) y luego procedemos a sumar 2x en el numerador y x en el denominador:

El doble del número es 18, E) Ninguna de las anteriores.

Fuente: Prueba Selección Universitaria - Revisado x DEMRE - Editorial Universitaria.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: f. Ecuaciones de primer grado.