Desafío - Mediana

¿ Cuánto mide el ángulo "x", en el triángulo ABC de la figura, si trazo DE es mediana ?


A) 90º
B) 72º
C) 60º
D) 48º
E) 42º

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente: PreU. Pedro de valdivia.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Geometría. Elementos Secundarios en el Triángulo.

Desafío - Ángulos.

Si L1 // L2, entonces el valor del ángulo x es = ?

A) 100º
B) 120º
C) 130º
D) 140º
E) 150º






Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: Cuaderno de Ejercicios - U.Católica
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Geometría Básica. Ángulos. Ángulos entre Paralelas.

Desafío - Ángulos

Si (alfa) = (delta) + 45 y el complemento de (alfa) mide 20º, entonces (delta)=?

A) 25º
B) 45º
C) 65º
D) 70º
E) 115º

Respuesta:

Si el complemento de (alfa) = 20, entonces (alfa) = 70º.


En la ecuación primera:


70º = (delta) + 45º


Luego,


(delta) = 70º - 45º = 25º


Alternativa A)

Fuente: Cuaderno de Ejercicios - U.Católica
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Geometría Básica. Complemento de un ángulo.

Desafío - Suficiencia de Información

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas (1) y (2)
D) Cada una por sí sola (1) ò (2)
E) Se requiere información Adicional.

Respuesta:

Respecto de (1) : Cumpliéndose que el triángulo es rectángulo en C, esta´n dadas las condiciones para el Teorema de Euclides en su plenitud, con (1), la relación es válida.


Respecto de (2): Que el triángulo sea Isósceles (sin que sea rectángulo en C) no se asegura nada.


(1) por sí sola; Alternativa A)

Fuente: Cuaderno de Ejercicio PSU - U.Católica
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Teorema de Euclides.

Desafío - Tangente y Secante

Respuesta:


Primero pensemos que los trazos AO y OB son radios, es decir miden "r".


Luego podemos plantear:


(PT)(PT) = (PA) (PA + 2r)


Reemplazando valores:


(15)(15) = 5(5+2r)
225 = 25 + 10r
225 - 25 = 10r
200 = 10r
r = 200/10 = 20

Alternativa C)

Fuente: Texto 2do. Medio, Eduardo Cid Figueroa
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Proporcionalidad en la Circunferencia.

Desafío - Proporcionalidad en la Circunferencia

Respuesta:


Por Potencia de un Punto Exterior:


(4)(4+5) = (3)(3+x)


(4)(9) = 9 + 3x


36 = 9 + 3x


36 - 9 = 3x


27 = 3x


x = 27/3


x = 9


Alternativa B)

Fuente: Texto 2do. Medio, Eduardo Cid Figueroa
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Proporcionalidad en la Circunferencia.

Desafío - Recta Tangente

Respuesta: Por el teorema de la Tangente y la Secante a un círculo:

Alternativa B)

Fuente: Texto 2do. Medio, Eduardo Cid Figueroa
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Proporcionalidad en la Circunferencia.

Desafío - 2 Tangentes

Respuesta:


1) (PA)(PA) = (PE)(PF) ; (Teorema de la Tangente y la Secante)
2) PA + PB = 12 ; (Dado en el enunciado)
3) PA = PB ; (Dos tangente a una Circunferencia desde un mismo punto miden iguales)


de 2) y 3) PA + PA = 12
2 PA = 12
PA = 12/2
PA = 6


Luego en 1)


(6)(6) = (PE)(PF)
(PE)(PF) = 36


Alternativa C)

Fuente: Texto 2do. Medio, Eduardo Cid Figueroa
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Proporcionalidad en la Circunferencia.

Un espacio de MICRO-Guías para NO olvidar (puede ser de ayuda)

Link (Enlace):

Micro-Guías Matemáticas

Desafío - Longitud de Circunferencia

Hallar la longitud de una circunferencia inscrita a un triángulo equilátero de 36 cm de perímetro. Para efectos de su respuesta considere que p = raiz(3) x Pi. (con Pi=3,14....).

A) 2p cm
B) 4p cm
C) 8p cm
D) 16p cm
E) 32p cm

Respuesta: Hagamos el dibujo con GeoGebra ....

Alternativa B), es decir: 4p.

Fuente: Modificación Ejercicio CEPECH
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III) Geometría.
CMO: Geometría Básica.

Desafío - Circunferencias Tangentes

Sean 3 circunferencias tangentes exteriormente de radios 3, 4 y 5 cm respectivamente. Determine el perímetro del triángulo que se forma al unir sus centros.

A) 12 ; B) 19 ; C) 21 ; D) 24 ; E) 27

Respuesta: Notamos que los radios son perpendiculares a la tangente en el punto de contacto, por lo tanto, se forma un triángulo que tendrá tres lados de oongitud: (5+4) ; (4+3) ; (3+5), lo cuál nos lleva al perímetro:

Perímetro = (5+4) + (4+3) + (3+5) = (9) + (7) + (8) = 24 ; Alternativa D)

Fuente: CEPECH
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III: Geometría.
CMO: Geometría Básica.

Desafío - Hexágono

Ud. tiene un hexágono regular de lado 2, y considera que p = raíz (3). Entonces el área del hexágono es:

A) 6p ; B) 8p ; C) 12p ; D) 16p ; E) 18p

Respuesta: Recordamos que para un triángulo equilátero, la altura es (raíz de (3)) veces la mitad del lado. Esto se puede comprobar con el Teorema Particular de Pitágoras ....

Si hay dudas, ver el LINK al diccio-mates:
Altura Triángulo Equilátero

Alternativa A)

Fuente: Modificación Ejercicio CEPECH
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Teorema Particular de Pitágoras. Geometría Básica.

Desafío - Ángulo

XYZW es un cuadrado de lado 12 cm en el cual se dibujan dos arcos de circunferencia con centros en X y W y radios iguales al lado del cuadrado. Dichos arcos se intersectan en el punto P. ¿ Cuánto mide entonces, el ángulo XPW?

A) 30°
B) 45°
C) 50°
D) 55°
E) 60°

Respuesta:

Alternativa E)

Fuente: Manual Conocimientos Específicos-U.Católica
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Geometría Básica.

Desafío - Rectas en el Espacio

Tema: Rectas en el espacio, oblicuas y coplanares. 


En la figura, A es un punto fuera del plano P.
L es una recta del plano P, es decir, está totalmente contenida en él.
Trazo AH es perpendicular al plano P.

Trazo AB es perpendicular a la recta L.

M es un punto de la recta distinto de B.

Entonces con respecto de las longitudes de los trazos AB, AH y AM, es correcto afirmar que:

Alternativas:

Respuesta:

Entonces es la alternativa B)


Fuente: Cuaderbo de Ejercicios PSU - U.Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría del Espacio.

Desafío - Determinación de un Plano

Tema: Planos en el espacio, determinación por tres puntos no colineales. 


Un plano, en el espacio, queda completamete determinado por:


I) Tres puntos no colineales (no alineados)
II) Una recta y un punto exterior a dicha recta.
III) Dos rectas secantes.
IV) Dos rectas paralelas.


¿ Son (es) verdadera(s) ?


A) Sólo I y III
B) Sólo II, III y IV
C) Sólo II y IV
D) Sólo I, III y IV
E) Todas.


Respuesta: Todas las alternativas son verdaderas. Veamos:


I) VERDADERA. 3 puntos determinan un plano, por eso es que las mesas de 3 patas, si el suelo no tiene agujeros, siempre están equilibradas y firmes.


Las otras: II), III) y IV) son simples variaciones, otras formas de lograr esos 3 puntos.


II) VERDADERA: La recta nos provee de 2 puntos cualesquiera que elijamos en ella, el tercer punto lo da el punto exterior a la recta.
III) VERDADERA: Una de las dos rectas nos da los dos puntos cualesquiera que escojamos en ella y tomamos el tercer punto perteneciente a la otra recta, la que la seca (corta).
IV) VERDADERA: Dos puntos cualesquiera los tomamos de la primera recta y de la paralela tomamos el tercer punto, uno cualquiera en ella ....


Alternativa E) .... Todas están buenas!


Fuente: Libro Ejercicios PSU - U.Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Determinación del Plano. Estereometría.

Desafío - Intersección de Planos

Tema: Intersección de dos planos. 

Respuesta:

No olvidemos que la diagonal de un cubo es siempre el lado por raíz de 3 y en este caso el cubo es incompleto, pero la estructura de cubo es el soporte de este problema.

Fuente: Recopilación A. Sánchez
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Intersección de planos.

Desafío - Estereometría.

Tema: Ángulos diedros, planos perpendiculares, intersección de tres o más planos. 

Respuesta:

Alternativa A)


Fuente: Creación personal.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Angulos Diedros. Intersección de 3 o más planos.

Desafío - Coordenadas Cartesiana Espaciales

Tema: Coordenadas cartesianas en el Espacio.

Respuesta:

Las coordenadas de A y B son:

A=(2,0,2) Centro de Gravedad de plano ROPQ

B=(2,2,0) Centro de Gravedad de plano RSTO

Con todo, el trazo AB es la hipotenusa de un triángulo rectángulo que tiene dos catetos iguales a "2", en longitud.

Cuando ello sucede, la hipotenusa -calculada por Pitágoras- es (2)x(raiz(2)), veamos:

Alternativa D)


Fuente: Recopilación A. Sánchez.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Coordenadas Cartesianas Espaciales.

Desafío - Volumen por Traslación.

Tema: Resolución de problemas sencillos sobre volúmenes de cuerpos generados por traslación de figuras planas. 

Respuesta:

Fuente: Recopilación A. Sánchez.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Volumen por Traslación

Desafío - Área por Traslación.

Tema: Resolución de problemas sencillos sobre áreas traslación de figuras planas. 

Un sistema de coordenadas espaciales tiene un trazo AB de longitud 2 unidades, con sus extremos en los puntos A(3,1,0) y B(1,1,0). El Sistema de coordenadas sufre una traslación hacia uno nuevo de coordenadas: (X' , Y', Z') como se muestra en la figura, donde el plaz¡no X'Y' coincide con el plano XY.


¿ Cuál es el área de la figura: ABB'A formada por la traslación del trazo AB ?


A) 6 unidades
B) 3 unidades
C) 4 unidades
D) 12 unidades
E) 8 unidades.


Respuesta:

Alternativa A)


Fuente: Creación personal.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Área generada por traslación.

Desafío - Volumen generado por Rotación

Tema: Resolución de problemas sencillos sobre volúmenes de cuerpos generados por rotación de figuras planas. 


Se tiene una hoja rectangular de cartulina de 80 cm x 60 cm. Se hace girar en torno del lado de 80 cm, formándose un cierto sólido geométrico. En seguida de hacer girar en torno al lado de 60 cm obteniéndose otro sólido. La razón entre el volumen del primer sólido y el segundo es de:


A) 3:4
B) 1:2
C) 2:3
D) 4:3
E) 3:2


Respuesta:

Alternativa A)


Fuente: Cuaderno de Ejercicios PSU - La Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Geometría del Espacio. Sólidos generados por rotación.

Desafío - Cuerpos Inscritos

Tema:  Resolución de problemas que plantean diversas relaciones entre cuerpos geométricos; por ejemplo, uno inscrito en otro.

A) Son iguales ambos volúmenes.
B) El volumen mayor es el doble del menor.
C) El volumen mayor es el triple del menor.
D) El volumen mayor es una vez y media el menor.

E) NO se pueden comparar porque faltan datos.

Respuesta:


En la primera imagen, el radio basal es "r" y la altura "h".
En la segunda imagen, hay 2 conos de radio basal "r", pero cada uno de ellos posee altura "h/2".


Luego:

Las dos figuras poseen el mismo volumen, Alternativa A)


Fuente: Variación de pregunta del libro PSU de la U. Católica.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Cuerpos Inscritos,

Desafío - Distancias/Alturas

Tema: Razones Resolución de problemas relativos a cálculos de alturas o distancias inaccesibles que pueden involucrar proporcionalidad en triángulos rectángulos.

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente:
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO:

Desafío - Razones Trigonométricas

Tema: Razones Trigonométricas en Triángulo rectángulo.

Respuesta:

La falsa es la alternativa E)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Razones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo.

Desafío - Tríos Pitagóricos.

Tema: Tríos Pitagóricos.

¿ No es trío Pitagórico ?

A) 3, 4, 5
B) 5, 12, 13
C) 15, 8, 17
D) 6, 8, 10
E) 5, 13, 14


Respuesta: el trío de la alternativa E) NO es pitagórico:

Todos los demás están correctos ....

Fuente: Creación Personal.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Tríos Pitagóricos.

Desafío - Teorema de Euclides.

Tema: Teoremas de Euclides.

Respuesta:

Alternativa C)


Fuente:Recopilación A. Sánchez.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Teorema de Euclides.

Desafío - Teorema de Euclides.

Tema: Teoremas de Euclides y proporcionalidad en el triángulo rectángulo. 

Respuesta:

Entonces, como lo anuncié, Alternativa E)


Fuente: Recopilación A. Sánchez
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Teorema de Euclides.

Desafío - Organización Lógica de los Argumentos.

Tema: Organización lógica de los argumentos.


Mire los siguientes esquemas:

Se quiere demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
La Secuencia Lógica según la cual los anteriores elementos se ordenan en esta demostración es:


A) I, II, III
B) II, I, III
C) I, III, II
D) III, II, I
E) Ninguna de las anteriores.


Respuesta:


La secuencia lógica de acuerdo a la literatura tradicional matemática es:


Tesis: Lo que se va a demostrar (III)
Hipótesis: Los datos que se tienen (II)
Demostración: Secuencia de pasos para demostrar (I)


El orden es: (III) - (II) - (I) ; Alternativa D)

Fuente: Creación Personal.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Organaización Lógica de los Argumentos. Demostración.

Desafío - Tesis e Hipótesis.

Tema: Distinción entre hipótesis y tesis. 

Miren los siguientes elementos:

Se quiere demostrar que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.

¿ Cuál de los siguientes alternativas es falsa ? 

A) I) es la demostración.
B) III) es la tésis.
C) Para demostrar lo pedido es necesario dar por sabido que los ángulos alternos internos (formados cuando 2 rectas paralelas son cortadas por una transversal) son congruentes.
D) II) es la tésis.
E) La desmotración tuvo necesidad de una construcción auxiliar.


RESPUESTA: Revisemos uno a uno los elementos de las alternativas:


A) VERDADERA: Efectivamente es la demostración, una secuencia encadenada de pasos en donde se usan elementos antes probados o axiomas (verdades dadas).


B) VERDADERA: Exactamente, es lo que hay que probar.


C) VERDADERA: Hay que dar esto por sabido o demostrarlo en forma previa. Acá lo hemos dado por sabido.


D) FALSA: NO es la tesis, sino la hipótesis (los datos que se tienen)


E) VERDADERA: Debimos trazar la recta AB.

Fuente: Creación Personal.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Tesis e Hipótesis.