Desafío - Geometría

Nota: Este ejercicio es de un poco mayor dificultad que los que aparecen habitualmente en la PSU.

Respuesta: Completamos los lados de la figura y los ángulos:

Nos quedamos con el triángulo ACD:

Acá usamos el Teorema del SENO:

Introducimos los valores y trabajamos:

Seguimos Trabajando la Expresión:

Para finalmente llegar a:

Fuente: Recopilación Pedro Campillai
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Ley del Seno. Tangente del ángulo Medio.

Desafío - Función por Tramos

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente; PSU U. Católica - Guía de Ejercicios
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Funciones. Función por Tramos.

Desafío - Ángulos

Respuesta:

La suma de los ángulos internos de un triángulo completan 180º, entonces:


(x) + (110 - x) + (x + 10) = 180º


Sumando entonces:


x + 120 = 180
x = 180 - 120
x = 60


110 - x = 110 - 60 = 50 ; Alternativa A)


Fuente: PUC . manual de Preparación PAA - Matemáticas (1997)
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Geometría Básica. Angulos.

Desafío - Funciones

Respuesta:


El denominador será conflictivo si se hace igual a "0", y ello ocurre cuando x = 2, solamente.


Alternativa D)

Fuente: Libro de Ejercicios PSU - U. Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I) Álgebra y Funciones.
CMO: Funciones.

Desafío - Funciones

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: Libro de Ejercicios PSU - U. Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I) Álgebra y Funciones.
CMO: Funciones.

Desafío - Funciones

Respuesta:

Mirar el Link: Prueba de la Recta Vertical

Fuente: Creación Personal
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I) Álgebra y Funciones.
CMO: Funciones. Prueba de la Recta Vertical.

Desafío - Volumen Cilindro

Respuesta:

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Volumen Pirámide

Una Pirámide de base cuadrada -cuyo lado mide 15 cm- posee una altura de 22 cm. ¿Cuánto mide su volumen ?

A) 220 cm cúbicos.
B) 330 cm cúbicos.
C) 660 cm cúbicos.
D) 1.650 cm cúbicos.
E) 4.950 cm cúbicos.

Respuesta:

La formula general para el volumen de una pirámide es:

Superficie de la base * Altura * 1/3

luego, en el caso concreto, aunque escrito en otro orden:

V = (1/3) (Superficie de Base) (Altura)
V = (1/3) (15x15) (22) centímetros Cúbicos.
V = 1.650 centímetros cúbicos.

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Área de Cubo

Respuesta:

Para determinar el área de un cubo, necesitamos saber su arista. El área de cubo mide:

Área de Cubo = 6 veces al área de una de sus caras (por que tiene 6 caras iguales)

Área de una cara = (arista) elevada al cuadrado.

Entonces, teniendo el valor de la arista estamos OK!

Cada una de las dos sentencias (1) y (2) me dan condiciones para tener la arista.

D) cada una por sí sola!

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Volumen de Cono

Se puede determinar el volumen de un CONO (Pi, = 3,1415....) si:

(1) El perímetro de la base mide 12 pi cm
(2) La altura del cono mide 9 cm

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas Juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ò (2)
E) Se requiere información adicional.

Respuesta:

Mira el Link donde está la fórmula del Volumen de Cono: Volumen de Cono


De acuerdo al Link, para el Volumen de Cono necesitamos:


1) el radio de la circunferencia basal.
2) la altura del cono.


Miremos (1): Con el perímetro de la base tenemos el radio.
Miremos (2): Nos dan directamente la altura.


Ambas Juntas (1) y (2) : 


Alternativa C)

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Volumen Esfera

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Área de Cubo

Si la arista de un cubo mide 4 cm, entonces el área del cubo mide:

A) 12 cm cuadrados.
B) 48 cm cuadrados.
C) 64 cm cuadrados.
D) 96 cm cuadrados
E) 576 cm cuadrados.

Respuesta: El Área de un cubo mide 6 veces el área de una de sus caras (son 6 caras iguales) y cada cara es un cuadrado, por tanto su área es el cuadrado de la arista ....


Área Total de un cubo = 6 (4 cm) (4 cm) = 96 cm cuadrados.


Alternativa D)

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Volumen

Si la arista de un cubo mide 2 cm, entonces el doble del volumen del cubo mide = ?

A) 16 cm cúbicos
B) 12 cm cúbicos
C) 8 cm cúbicos
D) 6 cm cúbicos
E) Ninguna de las anteriores

Respuesta:

Volumen = (2 cm)(2 cm)(2 cm) = 8 cm cúbicos.


Luego, el 
doble del Volumen del cubo es = 2x(8 cm cúbicos) 
= 16 cm cúbicos


Alternativa A)

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Volumen

La razón entre las áreas de dos cubos es 9:16.
¿ Cuál es la razón entre sus volúmenes ?

A) 729:4096
B) 27:64
C) 9:16
D) 9:12
E) 3:4

Respuesta:

Sea que el cubo chico tiene lado "a" y que el cubo GRANDE tiene lado "A".


Luego podemos establecer: 

Alternativa B)

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Volumen

El volumen de un cubo es 729 cm cúbicos. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo I y III
E) I, II, III

Respuesta: Si el volumen del cubo es 729 cm cúbicos, entonces la arista del cuco es (raíz cúbica de 729) = 9 cm.
y de acuerdo al siguiente esquema:

I) VERDADERA: La diagonal de una cara es 9 x (raíz de 2)
II) FALSA: El área del cubo es 6 x (81) cm cuadrados.
III) VERDADERA: La diagonal del cubo es 9 x (raíz de 3)

I y III verdaderas: Alternativa D)

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Área de Paralelepípedo

Si un paralelepípedo mide 8 cm de largo, 6 cm de ancho y 3 cm de alto, entonces su área total mide:

A) 84 cm cuadrados.
B) 90 cm cuadrados.
C) 180 cm cuadrados.
D) 510 cm cuadrados.
E) 1.020 cm cuadrados.

Respuesta:


Si las aristas del parelelepípedo miden a, b, c, entonces


El Área Total = 2(ab+bc+ac)


En nuestros caso (aunque puede ser otro el orden de las letras):


a = 8
b = 6
c = 3


El Área Total = 2( 8x6 + 6x3 + 8x3 )
El Área Total = 2(48 + 18 + 24 )
El Área Total = 2(90) 
El Área Total = 180 cm cuadrados


Alternativa C)

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Volumen

Respuesta: Para la altura tendremos que usar pitágoras, porque tenemos la hipotenusa (6) y el cateto (3), veamos:

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Volumen

Si el radio de una esfera mide 9 cm, entonces su área mide = ?

Respuesta:

Ver el Link: Volumen y Área de Esfera

o mejor, mirar directamente la siguiente imagen de la WEB:

Luego, calculamos, usando la fórmula:

Alternativa E)

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Exponenciales

Respuesta:

Alternativa B)

Fuente: PreU P. valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I) Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuaciones Exponenciales.

Desafío - Proporcionalidad en Circunferencia

En la figura, 
QP = 2PC, AP=4cm, QP+NB=6cm, AB=2NB 
y O es el centro de la circunferencia. 
Entonces BM=?

A) 5cm
B) 7 cm
C) 4 cm
D) 6 cm
E) 8 cm

Respuesta:

Fuente: Selección Ejercicios Profesor Campillai
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Proporcionalidad en la circunferencia.

Desafío - Congruencia

¿ En cuáles de las anteriores alternativas, se puede asegurar que la pareja de triángulos es congruente ?

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) I, II, III

Respuesta:

I) SON CONGRUENTES, por LAA, tiene en común un lado y dos ángulos.

II) SON CONGRUENTES, por LLL, tienen tres lados en común.

III) NO SON CONGRUENTES, sólo poseen 2 lados congruentes y aunque en la imagen parecieran tener un ángulo congruente (incluso parece ser recto), esto es algo NO dicho, por tanto NO son congruentes ....

I y II, Alternativa D)

Fuente: PreU. P. de Valdivia.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Congruencia. Triángulos Congruentes.

Desafío - Probabilidad

Si lanzamos 4 veces una moneda al aire, la probabilidad de obtener las 4 veces cara es:

A) 1/2 ; B) 1/4 ; C) 1/6 ; D) 1/18 ; E) 1/16

Respuesta:

El suceso sacar una cara en el lanzamiento de una moneda, es independiente de las caras que pueden salir en cada uno de los otros tres lanzamientos. La probabilidad de sacar una cara = 1/2. Y como los 4 lanzamientos son independientes, la probabilidad de sacar cara en TODOS ellos es:

(1/2) (1/2) (1/2) (1/2) = 1/16

Alternativa E)

Este problema es equivalente al lanzamiento de 4 monedas al aire. Los resultados son dados por la línea que se destaca en el Triángulo de Pascal:

Nuevamente se comprueba que hay 1 de 16 casos.

Fuente: PSU U. Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III Probabilidad y Estadística
CMO: Regla de Laplace

Desafío - Probabilidad

Si lanzamos una moneda al aire 2 veces, entonces la probabilidad de obtener al menos una cara es:

A) 1/4 ; B) 1/2 ; C) 3/4 ; D) 5/6 ; E) 1

Respuesta:

Hay todas estas posibles combinaciones: CC - CS - SC - SS

Tres de ellas, de un total de 4, poseen al menos una cara:

P(Sacar al menos una cara al lanzar 2 veces una moneda) = 3/4

Alternativa C)

Fuente: PSU U. Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III Probabilidad y Estadística
CMO: Regla de Laplace

Desafío - Probabilidad

Si una caja contiene 5 monedas de $ 100 y 3 de $ 50, entonces la probabilidad de sacar una moneda de $ 50 es:

A) 3/8 ; B) 1/2 ; C) 5/8 ; D) 15/64 ; E) 1/15

Respuesta:

Hay tres casos favorables, hay 8 casos posibles.

Según la Regla de Laplace,

P(Sacar una moneda de $ 50) = 3/8 ; Alternativa A)

Fuente: PSU U. Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III Probabilidad y Estadística
CMO: Regla de Laplace

Desafío - Probabilidad

Si de los dígitos del 1 al 9 se escoge uno a azar, la probabilidad de que salga un número impar es:

A) 4/9 ; B) 5/9 ; C) 1/3 ; D) 5/18 ; E) 2/3

Respuesta:

Impares = { 1,3,5,7,9 }

P(Sacar un número Impar) = 5/9 ; Alternativa B)

Fuente: PSU U. Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III Probabilidad y Estadística
CMO: Regla de Laplace

Desafío - Probabilidad

Si elegimos al azar un número del 1 al 15, la probabilidad de que sea un múltiplo de 3 es:

A) 1/15 ; B) 6/15 ; D) 1/5 ; D) 1/3 ; E) 2/3

Respuesta:

Múltiplos de 3 = { 3,6,9,12,15 }, 5 casos

P(Sacar un múltiplo de 3) = 5/15 = 1/3

Alternativa D)

Fuente: PSU U. Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III Probabilidad y Estadística
CMO: Regla de Laplace

Desafío - Probabilidad

Si en una caja hay 2 bolas blancas y 3 bolas negras, la probabilidad de sacar una bola negra es:

A) 2/3 ; B) 3/5 ; C) 2/5 ; D) 1/2 ; E) 1/3

Respuesta:

La probabilidad de sacar una bola negra, por la Regla de Laplace es:

P(sacar bola negra) = Casos Favorables/Casos Posibles = 3/5 ; Alternativa B)

Fuente: PSU U. Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III Probabilidad y Estadística
CMO: Regla de Laplace

Desafío - Probabilidad

La probabilidad de obtener un número mayor que 4 en el lanzamiento de un dado es:

A) 1/6 ; B) 1/3 ; C) 1/2 ; D) 2/3 ; E) 3/4

Respuesta:

Los números mayores que 4 al lanzar un dado son: {5,6}, de un total de 6 posibilidades.

Luego, por la Regla de Laplace, la probabilidad pedida es:

P(Sacar número mayor que 4) = 2/6 = 1/3 ; Alternativa B)

Fuente: PSU U. Católica.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III Probabilidad y Estadística
CMO: Regla de Laplace

Desafío - Lenguaje Algebraico

¿Cuál de las alternativas es FALSA?

A) El doble de "a" aumentado en "b" = 2a + b
B) La mitad de "a" más el triple de "b" = a + 1/2 + 3(b)
C) El cuadrado del doble de "a" = (2a)(2a)
D) La diferencia del quíntuple de "x" y la mitad de "y" = 5x-y/2
E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

La alternativa B) es la falsa. Escrito correctamente tendremos:

"La mitad de "a" más el triple de "b" " es: a/2 + 3b.

Alternativa B)

Fuente: Álgebra Arrayán.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: Lenguaje Algebraico.

Desafío - Ángulos

Si un ángulo mide 20° 3' 52", ¿Cuánto mide su complemento?

A) 70°
B) 160°
C) 69° 56' 8"
D) 69° 8° 56"
E) 159° 8° 56"

Respuesta: Hay que "pedir prestado" un grado y pasarlo a minutos y de estos, pedir prestado un minuto para pasarlo a segundos:

90º = 89º 59' 60''


Luego ahora si que podemos restar, buscando ese complemento:


(Restamos)
89º 59' 60''
20º   3' 52''
=========
69º  56'  8''


Alternativa C

Fuente: Geometría Arrayán
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría
CMO: Geometría Básica. Sistema Sexagesimal.