Desafío - Ángulo del Centro / Ángulo Inscrito.

Tema: Ángulos del centro y ángulos inscritos en una circunferencia. Teorema que relaciona la medida del ángulo del centro con la del correspondiente ángulo inscrito. 


Si "O" es el centro de la circunferencia, entonces el ángulo "X" mide = ?


A) 10º
B) 20º
C) 35º
D) 50º
E) 70º

Respuesta: Sabemos que si un ángulo del centro subtiende el mismo arco que otro inscrito, el ángulo inscrito mide la mitad de lo que mide el del centro así asociado .... rellenemos en imagen:

Fuente: Texto 2do. Medio de Eduardo Cid Figueroa.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Ángulo del Centro, {Angulo Inscrito

Desafío - Razón Áurea

Teoremas Presencia de la geometría en expresiones artísticas; por ejemplo, la razón áurea.

Respuesta:

Según esto, sería la alternativa D)


Fuente: CEPECH online.
NEM: Segundo Medio
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Razón Áurea.

Desafío - Paralelismo, Semejanza y Proporcionalidad de Trazos.

Tema: Relación entre paralelismo, semejanza y la proporcionalidad entre trazos.

Respuesta:

Fuente: Geometría para Enseñanza Media. E. Cid Figueroa.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Paralelismo, Semejanza y proporcionalidad de trazos.

Desafío - Proporcionalidad en Circunferencia.

Tema: Teoremas relativos a proporcionalidad en circunferencia, como aplicación del Teorema de Thales. 

¿ Son Verdaderas ?

A) Sólo I

B) Sólo II
C) Sólo I y II
D) Sólo II y III
E) I, II, III


Respuesta:


I) VERDADERA: Las circunferencias son concéntricas Trazo BD = (R - r) = Trazo AC, donde " R " es el radio de la circunferencia MAYOR y " r " es el radio de la circunferencia menor.


II) VERDADERA: Este es un Thales para segmentos curvos.


Pero pensemos un poco: si llamamos (alfa) al ángulo COD, que es igual al ángulo AOB, entonces, podemos establecer la siguiente proporción:

la cual es completamente cierta .....


III) VERDADERA: Este es un Thales para segmentos curvos. Similar a la discusión anterior ....


Alternativa E)

Fuente: Creación Personal.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Proporcionalidad en Circunferencia.

Desafío - Proporcionalidad de Trazos

Tema: Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos como apllicación del Teorema de Thales. 

Si Trazo AB // Trazo CD, entonces x = ?

A) 9

B) 12

C) 16

D) 21

E) 28

Respuesta:

Fuente: Geometría para E. Media.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. geometría.
CMO: Teorema de Thales.

Desafío - Proporcionalidad de Trazos en Cuadriláteros

Tema: Teoremas relativos a proporcionalidad de trazos, en cuadriláteros como aplicación del Teorema de Thales.  


En la siguiente figura, ACEF y BCRG son paralelógramos.
Con Trazo AF // Trazo BG ; Trazo FE // Trazo GR

¿ Cuál(es) de las siguientes son(es) verdadera(s) ?

I) CB : BA = CR : RE

II) BC : CR = AC : CE

III) BR // AE

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo I y III

D) Sólo II y III

E) I, II, III

Respuesta: La tres sentencias son verdaderas.


I) es VERDADERA pues los triángulos CAF y CEF son Congruentes y los trazos BG y RG son paralelos a la base y congruentes, luego los triángulos CBG y CRG también son congruentes.


II) es VERDADERA por los mismos argumentos anteriores.


III) es VERDADERA porque los dos paralelógramos ACEF y BCRG son semejantes. Luego sus ángulos interiores son congruentes, entonces las diagonales forman con la línea horizontal los mismo ángulos y eso quiere decir que los trazos AE y BR son paralelos.


Fuente: Geometría para Enseñanza Media - E. Cid Figueroa.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Proporcionalidad de Trazos en cuadriláteros como aplicación de Thales.

Desafío - Discusión de Solución / Thales

Tema: Planteo y resolución de problemas relativos a trazos proporcionales. Análisis de los datos y de la factibilidad de las soluciones.

¿ Cuál es el valor de x elevado a la cuarta ?


A) 2 ; B) 9 ; C) 8 ; D) 27 ; E) 16


Respuesta: Uno eventualmente podría resolver por tanteo. Se puede comprobar que cuando uno hace x=2, el Teorema de Thales se cumple, sin embargo puede que no tengamos "maña" para darnos cuenta de esto, por lo que planteamos el Teorema de Thales:

De acá emergen 2 soluciones: 
x1 = 2 ; 
x2 = - 3 ; Esta solución NO nos sirve porque haría que 2 de las medidas sean negativas.


Luego: "2" elevado a la cuarta es 16 ;Alternativa E)


Fuente: Creación Personal.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Teorema de Thales. Discusión de Soluciones.

Desafío - Trazos Proporcionales

Tema: Planteo y resolución de problemas relativos a trazos proporcionales. 

Un espejo plano descansa horizontalmente sobre el suelo y en él un observador ve el reflejo de un edificio. En la figura, Trazo AB = 40 cm, Trazo CB = 6 cm, Trazo EA = 120 cm. La altura estimada del edificio es entonces: ?

A) 18 m

B) 20 m

C) 200 m

D) 180 m

E) 25 m

Respuesta:

Luego planteamos:


1,2 / 0,4 = x / 6


Multiplicamos Cruzado:


(1,2)(6) = (0,4)X


7,2 = 0,4 x


x = 7,2/0,4 = 72/4 = 18


Alternativa A)


Fuente: Proyecto PSU Zig Zag
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Trazos Proporcionales.

Desafío - División Interior de Trazo en razón dada

Tema: División interior de un trazo en una razón dada. 


Buscamos dividir un Segmento AB en la razón dada: 7 : 3

¿ El (los) método(s) adecuado(s) es(son) ?

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) I y III
E) I, II, III


Respuesta: Los tres métodos, de división planteados, SON CORRECTOS. Fijarse que el método II y III son el mismo método. El Método III) (que usa un ángulo recto) es un caso particular del método II) en que se usa cualquier ángulo.


Los tres métodos dividen el trazo como 7/3.


Alternativa E)


Fuente: Creación Personal.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: División Interior de un trazo en una razón dada.

Desafío - Teorema de Thales

Tema: Teorema de Thales sobre trazos proporcionales.  


Determina la longitud del trazo DF. si L1 // L2 // L3.

A) 7 cm ; B) 7,5 cm ; C) 10 cm ; D) 12 cm ; E) 12,5 cm


Respuesta:


Sea x = Trazo EF
Por el Teorema de Thales tenemos: 


4/6 = 5/x
4x = 30
x = 30/4
x = 7,5


Luego Trazo DF = Trazo DE + Trazo EF = 5 + 7,5 = 12,5 ; Alternativa E)


Fuente: Texto 2do. E.Cid
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Terorema de Thales.

Desafío - Dibujo a escala.

Tema: Dibujo a escala en diversos contextos.

¿ Cuál es la escala en la figura, usando la razón (Figura Menor)/(Figura Mayor) ?


A) 2:1
B) 1:4
C) 1:3
D) 8:16
E) 4:1.


Respuesta:

Alternativa D) 8/16 = 1/2

Fuente: Creación Personal (Imagen de Eduardo Cid Figueroa)
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Dibujo a Escala.

Desafío - Semejanza de Figuras Planas.

Tema: Semejanza de figuras planas.

Dos triángulos rectángulos son semejantes si:


I. Los catetos correspondientes son proporcionales.
II. Un ángulo agudo de uno de ellos es congruente a uno de los ángulos del otro triángulo.
III. Las hipotenusas son congruentes.


A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo I y II.
D) Sólo I y III.
E) I, II, III.


Respuesta:


Con I) hay semejanza, porque los trazos de los catetos están en proporcionalidad y el ángulo recto entre ellos es congruente. Criterio LAL de semejanza.


Con II) hay semejanza, porque un ángulo agudo más el recto nos llevan al criterio AA de semejanza.


Con III) No hay semejanza, más bien es el inicio de una posible congruencia, pero no se puede asegurar semejanza.


Alternativa C), con I) y II) hay semejanza.

Fuente: Eduardo Cid - texto Segundo Medio.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. geometría.
CMO:  Semejanza.

Desafío - Criterios de Semejanza.

Tema: Criterios de Semejanza.

¿ Cuál de los siguientes criterios no es de semejanza de triángulos ?

A) Don triángulos son semejantes si dos de los ángulos correspondientes son congruentes.

B) Dos triángulos son semejantes si los tres lados de un triángulo son proporcionales a los tres lados correspondientes en el otro triángulo.

C) Dos triángulos son semejantes si dos lados de un triángulo son proporcionales a los dos lados correspondientes del otro triángulo y el ángulo comprendido entre estos dos lados es congruente al correspondiente en el otro triángulo.

D) Dos triángulos son semejantes si dos lados de un triángulo son proporcionales a los lados correspondientes del otro triángulo y el ángulo opuesto al mayor de los lados es congruente al correspondiente en el otro triángulo.

E) Dos triángulos son semejantes si los tres lados de uno de los triángulos son iguales en medida a los lados correspondientes en el otro triángulo.

Respuesta:


Las alternativas A), B), C) y D) son los 4 Criterios de semejanza que existen, están TODAS correctas.


La alternativa E) hace referencia a un criterio de CONGRUENCIA. Esta NO es un criterio de Semejanza.


Alternativa E)

Fuente: Creación personal.
NEM: Segundo Medio.Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Criterios de semejanza en Triángulos.

Desafío - Ley del Seno

ESTE PROBLEMA PUEDE SER UN POQUITO MÁS COMPLEJO POR SUS CONTENIDOS:


En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, el ángulo C mide 40°. Sobre trazo AC se toma un punto M de modo que ángulo ABM = 30°. Si Trazo BM = 8, entonces Trazo AC mide = ?


A) 16 ; B) 14 ; C) 18 ; D) 20 ; E) 24


Respuesta: Lo primero, ¿ Cómo es la imagen ?


Fuente: Recopilación Pedro Campillai
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Lay del Seno.

Desafío - Ejes de Simetría

Tema: Clasificación de triángulos y cuadriláteros considerando sus centros y ejes de simetría.

Si en la imagen, sumamos TODOS los Ejes de Simetría que hay más todos los Centros de Simtería, 
¿en total tendremos?


A) 5 Ejes de simetría y ningún Centro de Simetría.
B) 9 Ejes de Simetría y 1 Centro de Simetría.
C) 10 Ejes de Simetría y ningún Centro de Simetría.
D) 10 Ejes de Simetría y 1 Centro de Simetría.
E) 9 Ejes de Simetría y 1 Centro de Simetría.


Respuesta:


Pentágono Regular : 5 Ejes de Simetría + 0 Centro de Simetría.


Cuadrado : 4 Ejes de Simetría + 1 Centro de Simetría.


Parábola: 1 Eje de Simetría + 0 Centros de Simetría.


Suman en total: 10 Ejes de Simetría + 1 Centro de Simetría, Alternativa D)


Mirar la imagen:

Fuente: Creación personal.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Clasificación de Triángulos y Cuadriláteros por Ejes y Centros de Simetría.

Desafío - Embaldosamientos

Tema: Análisis de la posibilidad de embaldosar el plano con algunos polígonos. Aplicaciones de las transformaciones geométricas en las artes, por ejemplo, M.C. Escher.

Nota: en la Figura III, se muestra la imagen original.

¿Cuál de las siguientes es la alternativa verdadera ?


A) La teselación en la figura I se produjo sólo por traslación.
B) La teselación en la figura II se produjo sólo por rotación.
C) Se tesela en Figura I por rotación y traslación y en Figura II por simetría.
D) Se tesela en figura I por rotación y traslación, en Figura II por traslación, en Figura III por simetría y traslación.
E) Se tesela en figura I por rotación y traslación, en Figura II por traslación, en Figura III por traslación.

Respuesta:

A) FALSA: La teselación en la figura I es por Rotación + Traslación.
B) FALSA: La teselación en la figura II es por Traslación SOLAMENTE.
C) FALSA: Por la alternativa anterior B)
D) VERDADERA.
E) FALSA: La figura III se tesela por Simetría y Traslación.

Alternativa D)

Fuente: Creación personal.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Embaldosamiento. Teselaciones.

Desafío - Rotaciones.

Temas: Rotaciones de figuras planas.

La siguiente figura es rotada en el plano en - 90º, con el punto P como centro de rotación. ¿ Cuál de las siguientes alternativas representa dicha rotación ?

Respuesta:

http://psu-matematicas.blogspot.com

Alternativa A)

Fuente: Clave PSU - SM
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Isometrías.

Desafío - Simetrías

Temas: Simetrías de figuras planas.

El punto que es centro de simetría entre el polígono ABCDEF y el polígono A'B'C'D'E' es:

A) (0,0)
B) (0,2)
C) (2,0)
D) (0,1)
E) (1,0)

Respuesta: Cuando unimos dos puntos, por ejemplo A con A' ; F con F ' (En concreto bastan dos pares de puntos), uno encuentra en la intersección de estos trazos, el Centro de Simetría. Veamos en la figura:

El Centro de Simetría de esta " Simetría Central " es (0, 2)

Fuente: Clave PSU - SM
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Isometrías.

Desafío - Traslaciones.

Tema: Traslaciones de figuras planas.

Un triángulo tiene sus vértices en los puntos A(1,2) ; B(2,4) y C(4,3). Al trasladar el triángulo de acuerdo al vector traslación (-2,1), los nuevos vértices son respectivamente:

A) A'(1,3) ; B'(0,5) ; C'(2,4)
B) A'(-1,3) ; B'(0,5) ; C'(-2,4)
C) A'(-1,0) ; B'(0,0) ; C'(2,0)
D) A'(1,3) ; B'(-0,5) ; C'(2,4)
E) A'(-1,3) ; B'(0,5) ; C'(2,4)

Respuesta:

A(1, 2) + (-2,1) = (-1, 3) = A'
B(2, 4) + (-2, 1) = (0, 5) = B'
C(4, 3) + (-2, 1) = (2, 4) = C'


Alternativa E)

Fuente: Clave PSU - SM
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Isometrías.

Desafío - Propiedades en Circunferencia

Tema: Propiedades en Circunferencia relativas a Congruencia.

¿ Cuál de las siguientes alternativas es FALSA ?

A) En una circunferencia dos cuerdas están a una misma distancia del centro sí y sólo sí son congruentes.
B) En una circunferencia si se traza una recta desde el centro perpendicular a una cuerda, esta dimidia a la cuerda.
C) En una circunferencia la tangente es perpendicular al radio en el punto de contacto.
D) Las tangentes trazadas desde un mismo punto a una circunferencia son congruentes.
E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

Todas las alternativas son verdaderas, por tanto, E) es la correcta.

Fuente: Creación personal.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Congruencia en Circunferencia.

Desafío - Demostración de Propiedades de Cuadriláteros

Tema: Demostración de Propiedades de Cuadriláteros.

El cuadrilátero de la figura es un paralelógramo. Si Trazo DB tiene 3 cm más que Trazo AC y Trazo MC = 5 cm, ¿ Cuánto mide Trazo MB ?

A) 8 ; B) 10 ; C) 13 ; D) 5 ; E) Ninguna Anteriores.

Respuesta:

En un paralelógramo, las diagonales se cortan -cada una de ellas a la otra- en el punto medio.


Veamos por qué esto es así:


1) Triángulos BMC y DMA tienen congruentes los trazos BC y DA.
2) Triángulos BMC y DMA tienen congruentes los ángulos MCB y MAD por ser Alternos Internos respecto de la recta AC que corta a las parelelas DA y BC.
3) Triángulos BMC y DMA tiene congruentes los ángulos MBC y MDA por ser Alternos Internos respecto de la recta BD que corta a las paralelas DA y BC.


Luego los triángulos BMC y DMA SON CONGRUENTES y con ello los trazos AM y CM son Congruentes, los mismo pasa con trazos BM y DM.


Ahora vamos al ejercicio en sí:


Si MC = 5, entonces Trazo AC = 2(MC) = 2(5) = 10


Luego Trazo DB = 10 + 3 = 13 cm.


Alternativa C)

Fuente: Creación personal.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Congruencia. Congruencia aplicada en Paralelógramos.

Desafío - Geometría (un buen desafío)

ESTE PROBLEMA PUEDE SER UN POQUITO MÁS COMPLEJO POR SUS CONTENIDOS:


En un triángulo ABC, se traza la transversal de gravedad AM. Si el ángulo ABC mide 105º ; Si el ángulo ACB mide 30º, entonces cuánto mide el ángulo MAC = ?

A) 12 ; B) 14 ; C) 15 ; D) 16 º ; E) 18º


Respuesta:


La primera tarea es lograr la imagen que se asocia al problema:

Ahora a designar la incógnita principal y las incógnitas auxiliares:

Llamamos "x" a la incógnita auxiliar.

180 - (30 + 105) = 45, luego si el ángulo MAC = x ; entonces ángulo MAB mide (45 - x)

Llamamos "b" a la medida de la Transversal de gravedad AM,

llamamos "a" a la medida de los trazos iguales BM y MC.

y ahora ¿ Cómo se resuelve ? ohhhh: "teorema del seno"


Usemos el Teorema del SENO en dos triángulos:


Nota: Usamos 105 = 60 + 45

Ahora trabajamos la ecuación para encontrar ese ángulo "x".

Tenemos la tangente del ángulo "x" 
igual a (2 menos raíz de (3))


Si usamos una calculadora, y tomamos la inversa de la tangente nos da 15º. Pero esto no lo podemos hacer.


En su defecto vamos a calcular la tangente de 15º usando las fórmulas del ángulo medio:

Alternativa C)


Fuente: Recopilación Pedro Campillai
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II Geometría.
CMO: Teorema del SENO.