Desafío - Función/Ecuación Cuadrática (Resuelto)

Respuesta:

1) Sabemos que las raíces x1 y x2 suman -b/c, es decir, para este caso en que a = 2 y b = - 146, tenemos que:

x1 + x2 = - ( - 146)/(2x1) = 73.

2) Por otro lado, sabemos que las dos raíces son números primos, positivos y distintos. Sabemos que a excepción del 2 (único número primo PAR), todos los números primos deben ser IMPARES. Dos impares de ellos sumarán PAR. Es por esta razón que uno de los números primos debe ser 2.

3) Usando 1) y 2) tenemos: x1+x2 = 73 = 2 + 71.

4) Las dos raíces son 2 y 71.

5) Usando cualquiera de ellas, es decir, reemplazando cualquiera de ellas, debemos encontrar el valor de c. Usemos "2" que es más fácil:

6) 

2(2x2) - 146(2) + c = 0
8 - 292 + c = 0
c = 284

7) Calcule UD., el resultado es el mismo si se usa la raíz 71.

ALTERNATIVA E)    

Fuente: Brilliant.org
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II.) Álgebra.
CMO: Raíces de Ecuación Cuadrática.

Desafío - Conjuntos Numéricos

¿ Cuál(es) de los siguientes conjunto de números enteros positivos tiene(n) la propiedad que la suma de dos de sus miembros da siempre como resultado un número que pertenece a dicho conjunto?

I) El conjunto de los números compuestos.
II) El conjunto de los números pares.
III) El conjunto de los números primos.

A) Sólo I
B) Sólo II
C) Sólo III
D) Sólo I y II
E) Sólo II y III

Respuesta:

I) FALSA: Lo mostraremos por CONTRAEJEMPLO: 
Veamos dos números compuestos que al ser sumados no dan otro compuesto sino uno primo.


(2x4) = 8
(3x3) = 9
9+8 = 17 que es primo, NO compuesto.


II) VERDADERA: (2n) + (2n+2) = 4n + 2 = 2(2n+1) : que es PAR TAMBIÉN.


III) FALSA: Lo mostraremos por CONTRAEJEMPLO: 
7 es primo, 5 es primo, pero 7+5 = 12: NO es primo.


Sólo II es verdadera. Alternativa B)

Fuente: Faccímil P.Valdivia.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Conjuntos Numéricos. Propiedad de Clausura.

Desafío - Lenguaje Algebraico

La suma de 5 enteros consecutivos es 35.

¿ Cuántos de estos 5 enteros son primos?

A) 0 ; B) 1 ; C) 2 ; D) 3 ; E) 4

Respuesta:

Fuente: Faccímil Las ültimas Noticias.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.

CMO: Lenguaje Algebraico.

Desafío - Experimento Probabilístico

Al lanzar un dado NO cargado, podemos conocer el número que aparece en la cara superior si sabemos que:

(1) El número es primo;

(2) El número es impar, menor o igual a 3.

A) (1) por si sola.

B) (2) por si sola.

C) Ambas juntas (1) y (2)

D) Cada una por si sola (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional.

Respuesta: Es la alternativa C), veamos por qué ....

Veamos (1), los primos entre el 1 y el 6 (incluídos) son: {2, 3, 5} (el uno no se considera Primo).

Veamos (2), es impar, menor o igual a 3: {1, 3}.

Si intersectamos ambos conjuntos: {2,3,5} intersectado con {1,3} = 3, podemos tener la certeza de un número único, el 3.

Ambas JUNTAS, Alternativa C)

Fuente: Cuaderno PSU 3ro. Medio - MareNostrum/P.Valdivia

NEM: Tercreo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Experimento Aleatorio o Probabilístico.

Desafío - Probabilidad

¿ Cuál es la probilidad de que al escoger un número primo de entre los primos que hay en los primeros 25 números naturales este sea par ?

A) 1/25

B) 12/25

C) 9/25

D) 1/9

E) 1/12

Respuesta: Hagamos como que si pasamos por un cedazo (criba) los números del 1 al 25:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

21 22 23 24 25

Eliminamos el 1, que por definición NO es primo.

Dejamos el 2, que es primo y el único primo PAR.

Eliminamos los pares, los múltiplos de 2. (En rojo)

Eliminamos los múltiplos de 3. (En azul)

Eliminamos los múltiplos de 5. (En violeta)

Los primos que quedan son: {2,3,5,7,11,13,17,19,23}: 9 casos

Y como el único par es el 2, la probabilidad pedida es:

P(par en los primos primeros del 1 al 25) = 1/9 ; Alternativa D)

Fuente: Recopilación A. Sánchez

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidad.

CMO: Regla de Laplace.

Desafío - Conjuntos Numéricos

Respuesta: revisemos los tres conjuntos de forma más precisa o por Extensión:

R = { 1, 3, 5, 7 }

S = { 2, 3, 5, 7 }

T = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, ..... } (Los Impares)

Ninguno de ellos es igual!

Alternativa E)

Fuente: www.amatematicas.cl

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.

CMO: Conjuntos Numéricos.

¿ Cuántos números enteros entre 110 y 120 son números primos ?

A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) 4

Respuesta:

Acá vamos a hacer una criba de Eratóstenes, es decir, vamos a pasar por cedazo los números del 110 al 120, analizando la divisibilidad de cada uno de ellos, pero antes recordamos qué es ser un número primo:

Un número Primo es un número natural "n".
n>1
ES PRIMO sí y sólo sí, sus únicos factores son exactamente "n" y 1.

Hay un sólo número primo par, que es el 2. Pero OJO, que no todos los impares son primos.

Veamos los pedidos:

111 : Es divisible por 3, porque la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
112 : Es par, es divisible por 2.
113
114 : Es par, es divisible por 2.
115 : Es sivisible por 5, porque termina en 5.
116 : Es par, es divisible por 2.
117 : Es divisible por 3, porque la suma de sus dígitos es múltiplo de 3.
118 : Es par, es divisible por 2.
119 : Es divisible por 7, 119 = 7 x 17


Fuente: Faccímil Las Últimas Noticias - 1 (2003)
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Números.