Desafío - Suficiencia de Información (Resuelto)

Respuesta:

Si sabemos (1), entonces, al ser a=0, tenemos que (0+b)^2 = (0-b)^2. Luego con esta información es posible determinar que las expresiones SON iguales.

Si sabemos (2), entonces, ó a=0 ó b=0, con lo que llegamos, por analogía al razonamiento anterior a saber que las 2 expresiones son iguales.

C) Cada una por si sóla, (1) ó (2).

Fuente: DEMRE
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I.) Números.
CMO: Conjuntos Numéricos.

Desafío - Números Reales (Resuelto)

Respuesta:

I) Raíz(5) = 2,2360679, que es mayor a 2, luego la resta de la cantidad subradical en I) es positiva, por tanto I) es Real.

II) Raíz(7) = 2,6457513, que es menor que 3, luego la resta de a cantidad subradical en II) también es positiva, liego II) es un número Real.

III)
3xRaíz(2) = 4,2426405
2xRaíz(5) = 6,7082037
Luego la cantidad subradical en III) es negativa, por tanto el número III) NO es Real.

Alternativa B)

Fuente: PreuP.Valdivia
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I.) Números.
CMO: Números Reales.

Desafío - Irracional (Resuelto)

Respuesta:

Alternativa A)
Alternativa B) Si r es el racional 16, la raíz exacta existirá, no será irracional siempre.
Alternativa C) Si r=4/13, la raíz estará definida en forma exacta, no será racional siempre.
Alternativa D) Si r=9/17, ídem al anterior ....
Alternativa E) Si r=13, ídem al anterior ...

Siempre será irracional la alternativa A)

Fuente: PreuP.Valdivia
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I.) Números.
CMO: Conjunto Irracionales.

Desafío - Números Reales (Resuelto *)

Respuesta: 

Definitivamente C) es siempre un número Real. 

Respuesta: Alternativa C)

C) es un número Real debido a que r, por ser RACIONAL; nunca podrá tomar el valor 
( - Raíz (2) ), que indefiniría la expresión, haciéndola NO ser Real.

Todas las demás alternativas: A), B), D) y E) se pueden indefinir si para el caso de la alternativa:

A) r toma el valor ( - 20 ) ;
en cuyo caso la expresión no está definida, es decir el número NO es Real.

B) r toma el valor de ( + 20 ) ;
en cuyo caso la expresión no está definida, es decir el número NO es Real.

D) r toma el valor de ( -2,3 ) ;
en cuyo caso la expresión no está definida, es decir el número NO es Real.

E) r toma el valor de ( 1/3 = 0,33333333333 ... ) ;
en cuyo caso la expresión no está definida, es decir el número NO es Real.

(Nota del Blogger: Me gusta este ejercicio)

Fuente: PreU.P.Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I.) Números.
CMO: Conjuntos Numéricos.

Desafío - Conjuntos Numéricos (Resuelto)

Respuesta: Veamos una a una las alternativas:

A) FALSA: La raíz cúbica de un número negativo existe, será otro número negativo. La raíz cúbica de 3 es irracional y por tanto Real.

B) FALSA: Raíz cuadrada de (8) = 2 veces Raíz(2), esto es un número irracional.

C) FALSA: Los números Naturales NO son negativos.

D) VERDADERA: es igual a -2 = -2/1 ; que es Racional.

E) FALSA: Es igual a un cuarto de Raíz(2), esto es irracional, es decir es NO Entero.

Fuente: PreU.P.Valdivia.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I.) Números.
CMO: Conjuntos Numéricos.

Desafío - 73 - DEMRE - Recopila fmat (Problema Resuelto)

A) (1) por sí sola.

B) (2) por sí sola.

C) (1) y (2), ambas juntas.

D) (1) ó (2), cada una por separado.

E) Se requiere información adicional.

Respuesta: Esta ya la habíamos hecho, vea el LINK:

Problema que causó polémica en la PSU

Fuente: DEMRE - Recopila fmat.

NEM: 

Eje Temático:

CMO: Suficiencia de Información.

Desafío - Números Reales (Problema Resuelto)

Respuesta:

haga click sobre esta imagen para agrandarla ....

Fuente: Me lo dijo una discípula.
NEM: 2do. Medio.
Ejer Temático: II.) Álgebra.
CMO: Raíces.

Desafío - DEMRE Admisión 2013 - 14

14.
Sean p y q dos números reales mayores que 2, tal que p = q. ¿Cuál de las siguientes igualdades es FALSA?

Respuesta:

Veamos una a una las alternativas:

A) Si p=q, entonces: p+q = p + p = 2p : 


VERDADERA!


B)


C) Si p=q, entonces: p/q = p/p = 1 : 


VERDADERA!


D) Trabajando la expresión: dividiendo a ambos lados por el denominador, cada uno de los sumandos:


(p+q)/q = p/q + q/p = p/q+1, pero p=q, entonces = 1+1 = 2
(p+q)/p = p/p + q/p = 1+q/p, pero p=q, entonces = 1+1 = 2


VERDADERA!


E) El factor (p-q) es cero, por tanto la expresión se hace cero:


VERDADERA!


No queda otra que B) sea la FALSA !!!! y ello es cierto, porque si tomamos 2 números mayores a 2, por ejemplo: p=3, q=4

NO SE CUMPLE SIEMPRE, como en este caso elegido!

Fuente: DEMRE
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: II. Álgebra y Funciones.
CMO: Lenguaje Algebraico.

Desafío - Números Complejos

Respecto del resultado del binomio anterior, ¿Cuáles de las proposiciones son siempre verdaderas?

A) Sólo I ; B) Sólo II ; C) Sólo III ; D) I y II ; E) II y III.

Respuesta: Revisamos cada una de las alternativas:

I) En el caso particular en que a = b = 0, la expresión al cuadrado es cero. Por tanto I) es FALSA.

II) Cuando a = 0, "b al cuadrado" por "i al cuadrado (= -1)" es un número Real. Cuando b = 0, "a al cuadrado" es Real. Por tanto II) es VERDADERA.

III) El coeficiente de "b al cuadrado" debe ser negativo puesto que "i al cuadrado = -1". III) FALSA.

Alternativa B)

Fuente: Santillana Tercero Medio - Bicentenario.
NEM Nuevo Currículum: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Números Complejos.

Desafío - Conjunto Numéricos

¿ Cuál de las siguientes alternativas es verdadera ?

A) El conjunto de los irracionales incluye a los racionales.
B) 0 es irracional.
C) El conjunto de los irracionales incluye a los reales.
D) Un irracional es de la forma (p/q) con q distinto de cero.
E) La suma entre un irracional y un racional es irracional.

Respuesta: Veamos cada alternativa:

A) FALSA :  Los irracionales son un conjunto aparte, que no incluyen ni a los naturales, ni a los cardinales, ni al conjunto Z (Enteros), ni al conjunto Q (racionales). Los irracinales son parte de los Reales.

B) FALSA : Cero se puede escribir como 0/a, con a distinto de cero. Cero es Racional, es Entero, es Cardinal.

C) FALSA : Esto es al revés, tal como dijimos en la alternativa A)

D) FALSA : Esta es la definición de Racional. Los irracionales JUSTAMENTE NO pueden escribirse de esta forma.

E) VERDADERA : Esto es verdadero y vamos a demostrarlo:

Para demostrar, planteemos exactamente lo contrario y al llegar a una cotradicción, la sentencia contraria quedará demostrada:

Demostración:

Sea p perteneciente al conjunto Q de los Racionales.
Sea q perteneciente al conjunto Q* de los Irracionales.
Sea r perteneciente al conjunto Q de los Racionales.

Entonces suponemos lo contario a lo que queremos demostrar, que (p + q) es racional, o sea:

p + q = r
despejando:
q = r - p
Pero el Conjunto de los Racionales (Q) es cerrado para la suma(sustracción), por lo tanto:
q sería Racional, lo que es una contradicción con la definició inicial de q,

por tanto, queda demostrado lo contrario, que q es irracional, es decir, que cuando:

sumo un racional con un irracional, 

el resultado es irracional.

Alternativa E)

Fuente: Creación Personal.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Conjuntos Numéricos.

Desafío - Propiedad Números Reales.

El hecho de que: para todo par de números reales m y n se cumpla que (m+n = n+m) se llama:

A) Propiedad aditiva.
B) Propiedad conmutativa de la adición en IR
C) Clausura para la adición en IR
D) Ley de la Cancelación para la adición en IR
E) Propiedad asociativa para la adición en IR

Respuesta:

Se llama Propiedad Conmutativa para la Adición, naturalmente ne los Reales.

Alternativa B)

Fuente: PSU Matematica U.Católica - Tapia/Ormazábal
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Propiedades de los Números Reales.

Desafío 34 - DEMRE 2012

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente: DEMRE 2012

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Raíces.(Y de 1ro. Medio, Conjunto Numéricos)

Desafío - Conjuntos Numéricos

Respuesta:

Este es un número IRRACIONAL negativo .... Alternativa D)

Fuente: DEMRE

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.

CMO: Conjuntos Numéricos.

Desafío - Dominio

¿ Cuál(es) de las siguientes funciones tiene(n) como dominio el conjunto de los Números Reales?

A) Sólo I

B) Sólo II

C) Sólo III

D) I y II

E) I, II, III

Respuesta:

En I) todos los valores de x son posibles, excepto cuando x=0, lo que anula el denominador.

Entonces, en este caso el Dominio NO es IR, sino un subconjunto: IR-{0}

En II) todos los valores de x son posibles, excepto cuando x=-2, lo que anula el denominador.

Entonces, en este caso el Dominio NO es IR, sino otro subconjunto: IR - {-2}

En III, cuanquier valor de IR hace que el denominador sea distinto de cero. En este caso el Dominio es IR.

Sólo III) ; Alternativa C)

Fuente: Santillana Bicentenario - 2do. Medio

NEM: Segundo Medio.

Eje temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Funciones.

Desafío - Conjuntos Numéricos

Respuesta:

I) Los Naturales unidos a los enteros con los Enteros, porque los Naturales están contenidos en los enteros .... Luego, esta es FALSA de falsedad absoluta!

II) Verdadera:

Los Naturales es subconjunto de los Enteros y

los Enteros son subconjunto de los Racionales.

III) Racionales UNIDOS a los Irracionales = Números Reales.

Alternativa C) II y III son verdaderas!

Fuente: www.amatemtaicas.cl

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.

CMO: Números. Conjuntos Numéricos.

Desafío - Conjuntos Numéricos

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Primero Medio.

Eje temático: I. Números y Proporcionalidad.

CMO: Conjuntos Numéricos.

Desafío - Función Valor Absoluto

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto de la Función Valor Absoluto?

A) Su dominio son los números reales no negativos.

B) Su recorrido son los números reales.

C) Es una función decreciente en todo su dominio.

D) Es una función de segundo grado.

E) Tiene un mínimo valor.

Respuesta: Veamos la gráfica y luego opinamos sobre cada una de las alternativas:

A) Su dominio son TODOS los Reales.

B) Su recorrido son {0} U IR+

C) NO, pues crece en IR+

D) NO es una Función de Segundo grado, por tramos es de Primer Grado (Recta)

E) Tiene un mínimo, siiiiiiiii !!!! en el (0,0)

ALTERNATIVA E)

Nota: Saben que Euler habría dicho que es una curva "mal comportada", que habrá querido decir ....

Fuente: Faccímil PSU - PreU Católica.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I Álgebra y Funciones.2. Funciones.

CMO: e. Función Valor Absoluto. Gráfica de la Función.

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Link a Wikipedia

Concepto: Función valor Absoluto

Link: http://es.wikipedia.org/wiki/Valor_absoluto

Desafío - Indefinición

¿ Para qué valores de x, la anterior expresión se indefine ?

Respuesta: Ninguna de las alternativas sugeridas, hace que el denominador sea cero. La verdad es que el denominador NO puede ser cero en el Conjunto Numérico de los Reales. Esa es mi crítica a este ejercicio, que se debió acotar el dominio de la fracción, porque en los números complejos (o más reductivamente en los Imaginarios) esta fracción se indefine en "i". Pero quizás estamos tomando en cuenta que desde hace muchos años, el mundo Complejo no se pasa en la Media (y yo no sé si esto es una imposición o una práctica)

Pensando que estamos en los Reales, NUNCA-NUNCA se indefine. Alternativa E)

Fuente: Faccímil PSU - La Nación 2009

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Expresiones Algebraicas Fraccionarias.

Desafío - Ecuación Exponencial

¿ Cuál(es) de las siguientes afirmaciones no es válida para la anterior ecuación ?

I) Tiene más de una solución.
II) Tiene exactamente dos soluciones.
III) Una de sus soluciones no es real.

A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo III.
D) I u II.
E) I y III.

Respuesta: Expresamos todo en potenvcias de 2, dividimos las potencias de igual base:

Luego hay 2 soluciones o lo que es lo mismo don más de una, cada una de ellas es Real ...

Alternativa C)

Fuente: Texto Santillana - 4to. medio.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Exponencial.