Desafío - Semejanza y Congruencia (Resuelto)

De las siguientes afirmaciones, es FALSA:

A) Si dos triángulos son congruentes, también son semejantes.
B) Dos triangulos sos semejantes si tienen dos ángulos iguales.
C) Dos triángulos son congruentes si tienen la misma área.
D) Dos triángulos son semejantes si tienen sus lados proporcionales.
E) Si dos triángulos son semejantes y sus perímetros están en la razón de 1:2, entonces sus áreas están en la razón de 1:4.

Respuesta:

A) VERDADERA: Si son congruentes, tienen misma forma y tamaño, con eso se aseguran ser semejantes, que exige sólo igual forma, sin importar la variabilidad del tamaño.
B) VERDADERA: es el criterio AA de semjanza.
C) FALSA: veamos en el ejemplo:

D) VERDADERA: Es otro criterio de semejanza.
E) VERDADERA: Si dos triángulos son semejantes, entonces sus áreas están en el cuadrado de la razón entre dos lados homólogos cualesquiera.

Alternativa C)

Fuente: CEPECH
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III.) Geometría.
CMO: Semejanza.

Desafío - Razón de Volúmenes (Resuelto)

Una caja de zapatos tiene el mismo largo, la mitad de la altura y cuatro veces el ancho que otra caja de zapatos. La razón entre sus volúmenes es:

A) 1 : 2
B) 2 : 3
C) 1 : 4
D) 1 : 6
E) 1 : 8

Respuesta:

caja/caja original = [(L)(H/2)(4A)]/[(L)(H)(A)]

caja/caja original = [2LHA]/[LHA]=2/1

Lurego la razón está al revez, la correcta es la A)

Fuente: PAA Católica - 1996
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II.) Geometría.
CMO: Volumen.

Desafío - Áreas (Resuelto)

Respuesta:

Fuente: PSU Editorial Universitaria - Revisada DEMRE
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III.) Geometría.
CMO: Areas. Razón.

Desafío - Razón de Áreas (Resuelto)

Respuesta:

Usamos el truco que se emplea cuando nos dan una razón entre dos segmentos, decimos que:

AE = 3p
EC = 2p

Además, en este buen problema, tendremos que designar algunos elementos, como por ejemplo la altura, que por ser desconocida, la designamos como "h" .... como el cálculo implica un cociente, esta altura se cancela (razón de áreas), desaparece y el resultado es indiferente a ella .... veamos:

Fuente: J.M.Núñez Rojo.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I.) Números.
CMO: Razones.

Desafío - Razón (Resuelto)

Si la razón de las áreas de dos cubos semejantes es 9:25 y el volumen del cubo menor es 54, 

¿Cuál es el volumen del cubo mayor?

A) 90 ; B) 125 ; C) 250 ; D) 500 ; E) 750

Respuesta:

Alternativa C)

Fuente: Manual de Preparación PSU Matemática - U.Católica
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I.) Números.
CMO: Razones y Proporciones.

Desafío - Perímetro (Resuelto)

Respuesta:

Entonces es la alternativa D)

Fuente: PreU.P.Valdivia.
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: I) Números.
CMO: Proporcionalidad.

Desafío - Trigonometría (Resuelto)

La Ley de la Refracción de Snell-Descartes relaciona las velocidades de la luz en dos medios distintos y contiguos, con los ángulos de incidencia y refracción de la luz. Si “v1” es la velocidad de la luz en el medio superior, “v2” es la velocidad de la luz en el medio inferior y denotamos por “i” y “r” los ángulos de incidencia y refracción como se ve en la figura, la Ley de Snell-Descartes es:

Supongamos que los dos medios en cuestión son aire y agua. Sea que la razón de v1 a v2 es como 4 es a 3. Si el ángulo de incidencia es de 30 grados, entonces, ¿cuál es el ángulo de refracción?

A)     Arco sen (8/3)

B)      Arco sen (4/3)

C)      Arco sen (3/8)

D)     Arco sen (3/4)

E)    Ninguna Anteriores.

Respuesta: Usando la Ley tenemos:

    ********** sen 30)/(sen r) = 4/3

    ********** pero sen 30 =1/2

    ********** luego: (1/2)(3/4) = sen r

    ********** sen r = 3/8

r   ********** r = arc sen (3/8)

    ********** alternativa C)

Desafío - Volumen (Resuelto)

Respuesta:

Fuente: Texto Santillana 4to.Medio.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II.) Geometría.
CMO: Volúmenes.

Desafío - Razón de Áreas (Problema Resuelto)

Respuesta:

Desafío 28 - Volumen (Problema Resuelto)

Respuesta:

Desafío - Geometría

Si E es punto medio de trazo CD en el rectángulo ABCD de la figura,

¿Qué fracción es la parte achurada del rectángulo ABCD?

A) 1/6
B) 1/8
C) 1/9
D) 1/10
E) 1/12

Respuesta: Por AA establecemos semejanza entre los triángulos ABP y CEP ....

PR/PS = CE/AB = 1/2
Luego, La Altura PR es un tercio del trazo BC.
Si llamamos AD = BC = a
Si llamamos AB = CD = b

Entonces: RP = a/3

Area del triángulo CEP = (1/2)(b/2)(a/3) = ab/12

Luego: Achurado/Rectángulo = (ab/12)/(ab) = 1/12

Alternativa E)

Fuente: PreU. P.Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Semejanza.

Desafío - Volumen

La razón entre las áreas de dos cubos es 9:16.
¿ Cuál es la razón entre sus volúmenes ?

A) 729:4096
B) 27:64
C) 9:16
D) 9:12
E) 3:4

Respuesta:

Sea que el cubo chico tiene lado "a" y que el cubo GRANDE tiene lado "A".


Luego podemos establecer: 

Alternativa B)

Fuente: Guía CEPECH
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Area y Volumen de Cuerpos.

Desafío - Comparación de Volúmenes

Una pirámide cuya base es un cuadrado de lado 2a unidades tiene el mismo volumen que un prisma cuya base es un cuadrado de lado a. ¿En qué razón están las alturas de la pirámide y del prisma?

A) 1:4
B) 3:4
C) 4:3
D) a:3
E) 3:2

Respuesta:

Fuente: Santillana 4to. Medio.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Volumen

Desafío - División Interior de Trazo en razón dada

Respuesta: Veamos cada uno de las imágenes propuestas:

I) AP/PB = 8/(20-8) = 8/12 = 2/3 ; VERDADERA

II) AP/PB = 10/15 = 2/3 ; VERDADERA

III) PB/AP = (3-2)/2 = 1/2 ; FALSA

Sólo I) y II), Alternativa B)

Fuente: DEMRE

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: División Interior de un trazo en una razón dada.

Desafío - Semejanza

Una persona coloca un espejo en el suelo y a través de él observa un árbol tal como se ilustra en la figura. ¿ En que razón está la altura de la persona y la del árbol?

A) 1:3

B) 2:3

C) 1:5

D) 3:5

E) 4:5

Respuesta: L

os dos triángulos que quedan determinados en la figura son semejantes, puesto que el pie del árbol y el pie de la persona implican un ángulo de 90º y además, el espejo proyecta dos líneas oblicuas de visión, que forman un mismo ángulo con la vertical, veamos:

Alternativa E)

Fuente: Texto 2do. Medio - Eduardo Cid

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Semejanza.

¿ Cuál es el valor de x/y dado el anterior sistema ?

A) 1

B) -1

C) -1/2

D) 1/2

E) 2

Respuesta: Sumamos las 2 ecuaciones, para por reducción calcular x:

4x + 2x + y - y = 6 + 0

6x = 6

x=6/6

x=1

Luego, reemplazando en la primera ecuación:

4(1) + y = 6

y = 6 - 4

y=2

x/y = 1/2 ; Alternativa D)

Fuente: PSU - MareNostrum/P.Valdivia.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones

CMO: Sistemas de Ecuaciones

Desafío - Razones

¿ Qué parte de una hora son 36 segundos ?

A) 1/1000

B) 1/100

C) 1/360

D) 1/36

E) 1/6

Respuesta: El problema nos lleva a constituir la razón:

Razón pedida = 36 segundos/1 hora

pero para poder comprar debemos elegir las mismas unidades ....

1 hora = 60 minutos = 60x60=3600 segundos, luego:

Razón pedida = 36/3600 = 1/100 ; Alternativa B)

Fuente: PreU. Pedro de Valdivia.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 1. Números.

CMO: Razones y Proporciones

Desafío - Proporcionalidad

Juan tiene 24 años y la razón entre su edad y la de su hermano es 3/4. ¿Cuál es la edad de su hermano?

A) 16

B) 18

C) 28

D) 32

E) 48

Respuesta: En edades:

Juan/Hermano = 3/4

24/hermano = 3/4

32 = hermano

Alternativa D)

Fuente: CEPECH 2007

NEM Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. proporcionalidad.

CMO: Razones y Proporciones.

Desafío - Razón entre Áreas

Respuesta:

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Area.

Desafío - Triángulo Rectángulo

El Triángulo de la figura es rectángulo en C, entonces la razón AC:CB=?

A) 1:4

B) 1:2

C) 2:3

D) 3:4

E) 1:3

Respuesta: