Desafío - Eje de Simetría (Resuelto)

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es FALSA?

A) Un diámetro de una circunferencia es eje de simetría de ella.
B) El punto de intersección de las diagonales de un rombo es centro de simetría de él.
C) Las diagonales de un trapecio isósceles son ejes de simetría de él.
D) El punto medio de un trazo es centro de simetría de él.
E) La bisectriz de un ángulo es eje de simetría de él.

Respuesta:

A) Verdadera: TODOS los diámetros son ejes de simetría de una circunferencia y son infinitos.

B) Verdadera. Mira la imagen: Las diagonales de un rombo determinan un punto que es CENTRO de simetría, de simetría cental:

C) FALSA, esto NO es cierto, porque si doblamos en torno a las diagonales, no hay coincidencia de las figuras .... Mira la imagen e imagina el doblado.

D) VERDADERA: El punto medio es el centro de simetría en un trazo ....

E) VERDADERA: La bisectriz es el eje de simetría de un ángulo, eso es la definición de lo que es una bisectriz.....

Alternativa C) es la falsa ....

Fuente: DEMRE
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III.) Geometría.
CMO: Isometrías. Simetrías. Ejes de Simetría.

Desafío - Ángulos en la Circunferencia 1 (Resuelto)

Respuesta: (En los comentarios la solución)

Fuente: Colegio San Gaspar, Providencia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III.) Geometría.
CMO: Ángulos en la Circunferencia.

Desafío 11 - Bisectrices (Problema Resuelto)

Respuesta:

Desafío - Ángulos

Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus bisectrices, entonces se forman dos triángulos:

A) Isósceles Congruentes.
B) Acutángulos congruentes.
C) Isósceles Acutángulos Congruentes.
D) Escalenos Rectángulos Congruentes.
E) Isósceles Rectángulos Congruentes.

Respuesta:

Cuando se dibuja una bisectriz, en un triángulo equilátero, estamos a la vez dibujando de manera coincidente la transversal de gravedad, la altura, la simetral. Todos estos elementos -para un mismo vértice- coinciden en un triángulo equilátero. La bisectriz que coincide con la altura: dimidia el lado opuesto y baja sobre él en 90 grados.

Los dos triángulos que se tienen son congruentes: Comparten 3 lados correspondientes idénticos en longitud y la bisectriz (altura), cae en 90° sobre el lado opuesto. Los tres lados miden distinto, si el triángulo equilátero tiene lado "a", los tres lados miden: (a) ; (a/2) ; ((a/2) por raíz de 3).

Los dos triángulos son Escalenos, Rectángulos, Congruentes .... como en la imagen que se linkea:

Ver TODO el Link: Qué pasa al dibujar una bisectriz en un Triángulo Equilátero

Alternativa D)

Fuente: PreU P.Valdivia
NEM: Primero Medio.
Eje Temático: III. Geometría.
CMO: Geometría Básica.

Desafío - Elementos Secundarios en el Triángulo

La pregunta es ¿ Cuánto mide el ángulo ALFA ?

Respuesta:

Fuente: CEPECH - 2002

NEM : Primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Geometría Básica.

Desafío - Elementos Secundarios en el Triángulo

¿ Cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta respecto de cualquier triángulo?

A) El incentro es el punto donde se intersectan las simetrales.

B) El centro de gravedad equidista de los lados del triángulo.

C) Las medianas se intersectan en un punto.

D) El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.

E) Las alturas se intersectan en la razón 2:1

Respuesta: Analizamos detalladamente cada una de las alternativas:

A) El incentro es el punto donde se intersectan las simetrales.

FALSA: El incentro en la intersección de BISECTRICES.

B) El centro de gravedad equidista de los lados del triángulo.

FALSA: El incentro, intersección de bisectrices, es el centro de la circunferencia inscrita, es ella la que equidista de los lados del triángulo.

C) Las medianas se intersectan en un punto.

FALSA: Las medianas se intersectan de a pares.

D) El circuncentro equidista de los vértices del triángulo.

VERDADERA: El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita, ella debe pasar por los tres vértices. Nota: El circuncentro es la intersección de las simetrales.

E) Las alturas se intersectan en la razón 2:1

FALSA: Son las Transversales de Gravedad las que se intersectan en un único punto que las divide en dos trazos que están en razón de 1:2.

Alternativa D)

Fuente: Faccímil P.Valdivia - 2011

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Geometría Básica. Elementos Secundarios en el Triángulo.

Desafío - Paralelógramo

¿ Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta para TODOS los paralelógramos ?

A) Si sus ángulos son rectos es un cuadrado.

B) Los ángulos consecutivos son complementarios.

C) Las diagonales son bisectrices.

D) Los ángulos opuestos son congruentes.

E) Los ángulos opuestos son suplementarios.

Respuesta: Revisamos una a una las aseveraciones.

A) Si sus ángulos son rectos es un cuadrado: Falsa, podría ser un rectángulo!

B) Los ángulos consecutivos son complementarios. Falsa, en un rombo los ángulos consecutivos son suplementarios.

C) Las diagonales son bisectrices. Falsa, no en un rectángulo.

D) Los ángulos opuestos son congruentes.

E) Los ángulos opuestos son suplementarios. Falsa, en un romboide, los ángulos opuestos NO son suplementarios.

Alternativa D)

Fuente: DEMRE

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Geometría Básica. Paralelógramos.

Desafío - Elementos Secundarios en el Triángulo

Respuesta: a la Mediana, es justamente la definición de Mediana .... pero para hacer más completa la respuesta, recordemos:

Transversal de Gravedad: Trazo que va de un vértice al punto medio del lado opuesto.

Bisectriz: Recta (rayo) que divide en dos ángulos iguales a un ángulo dado (se dice: lo bisecta).

Altura: Trazo que une un vértice con el lado opuesto, formando un ángulo recto en su punto de contacto con el lado opuesto o con la prolongación de este.

Fuente: www.amatematicas.cl

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Geometría, conceptos básicos.

Desafío - Suficiencia de Datos

En el triángulo ABC, Trazo CD es bisectriz de ángulo ACB. Trazo AC = Trazo BC. ¿Cuál es el perímetro del triángulo ABC?


(1) AD=3 cm, BC=5 cm
(2) CD = 4 cm


A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas (1) y (2).
D) Cada una por sí sola (1) o (2)
E) Se requiere información adicional.


Respuesta: En este ejercicio basta con saber que si TRazo AC = TRazo BC, entonces el triángulo es Isósceles.

Luego: Si el triángulo es isósceles, la bisectriz del ángulo opuesto a la base es también la altura y dimidia la base (la divide en dos partes iguales).

Luego: Si la dimidia y sabemos una de sus partes -AD ó DB- sabemos la otra ....

Con la expresión I)

Sabemos que: AD=DB= 3 cm

Sabemos que: BC = 5 cm .....

Si tuviésemos sólo CD, no podemos tener los lados del triángulo iósceles, por no saber nada de la base o viceversa! Bastaría uno u otro para actuar con Pitágoras, pero NO tenemos ninguno de los dos datos, II) sola es incompleta ....

Fuente: Faccímil PreU. Universidad Católica.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: III. Geometría.

CMO: Geometría Básica.

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Link al DiccioMates

Concepto: Triçangulo Isosceles = Elementos secundarios

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Tri%C3%A1ngulo%20Is%C3%B3sceles

Nota del BLogger: Cada vez que miro la imagen inicial del problema, la encuentro que difiere notablemente de un triángulo ISOSCELES .... no me convence -la imagen- que AC es igual a BC. Esto nos muestra que hay que creer -algunas veces- ciegamente lo que dicen los datos del problema aunque la imagen diga lo contrario .... a este respecto hay una frase célebre que es muy interesante traer a colación:

" La geometría es el arte de pensar bien y dibujar mal "

Henri Poincaré, Matemático francés ....

Desafío Universidad Católica

Si en el triángulo rectángulo de la figura, el trazo CD es la bisectriz del ángulo recto, entonces la medida del trazo AD es:

A) 30/7
B) 40/7
C) 4,8
D) 3,6
E) 5,0

Respuesta:

-

Para resolver este problema, vamos a utilizar fundamentalmente dos conceptos:

-

1) Teorema de Apolonio o de la BISECTRIZ (Poco enseñado en los colegios): En un triángulo, la razón entre dos lados es igual a la razón de las partes en las que queda dividido el tercer lado por la bisectriz de ángulo interno opuesto.

-

En nuestra figura esto se traduce como sigue:

2) Teorema Particular de Pitágoras:

Usando (1) y (2) constituimos un Sistema de Ecuaciones, que resolveremos por Sustitución:

Luego, la alternativa correcta es A)

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Fuente: Manual de Preparación Matemática - 2003. U.Católica.

NEM: Segundo Medio.

-

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. funciones.

CMO: d. Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales con dos Incógnitas.

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Eje Temático: II. Geometría.

CMO: b. Planteo y resolución de problemas relativos a trazos proporcionales.

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Para ver el Teorema de Apolonio o de la Bisectriz: (en WIKIPEDIA)

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_la_bisectriz