Desafío - Logaritmos

Respuesta: Revisamos una a una las propuestas:

I) La Base de una Función Logarítmica debe pertenecer a los Reales Positivos. Cuando la base es mayor que cero y menor que 1, la función Logarítmica es DECRECIENTE, tal como sucede en la figura. VERDADERA.

II) Es VERDADERA .... veamos:

III) (1/2) es positivo, y logaritmo en base 2, de (1/2) es igual a -1, es decir, es negativo. FALSA!

Alternativa D), Sólo I y II son verdaderas!

Fuente: Manual PSU - U.Católica.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Logaritmos. Función Logarítmica.

Desafío - Geometría Analítica

Le ecuación de la recta que pasa por el punto de coordenadas (5,-2) y que es paralela a la recta de ecuación 3x - 5y = 0 es:

A) 3x - 5y + 25 = 0

B) 3x - 5y -10 = 0

C) -3x + 5y -25 = 0

D) 3x - 5y + 25 = 0

E) 3x - 5y - 25 = 0

Respuesta: Para que sea paralela a la recta dada, deben tener la misma pendiente. Veamos esa pendiente:

3x - 5y = 0

3x = 5y

y= (3/5)x

Luego tenemos una pendiente: m = 3/5, y que la recta pasa por el punto (5,-2)

y - (-2) = (3/5)(x-5)

multiplicamos por 5 la ecuación:

5(y+2) = 3(x-5)

5y + 10 = 3x - 15

3x - 5y -25 = 0

Alternativa E), si no hubiese equivocaciones!

Fuente: Manual matemáticas PSU - U.Católica

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Geometría Analítica.

Desafío - Ecuación de la Recta

¿ Cuál de los anteriores grafos corresponde a la ecuación de la Recta: x/2 + y/3 = 1?

Respuesta: La ecuación dada tiene la forma de Ecuación de Segmentos. Por ella sabemos que el punto de corte, en el eje abcisas es a una distancia 2 del origen y en el eje ordenadas, el punto de corte es a una distancia 3 del origen.

La alternativa A) cumple con esta exigencia.

Mirar más abajo la información de la Ecuación de la Recta por Segmentos.

Fuente: Faccímil PSU - Manual Matemáticas U.Católica.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgerbra y Funciones.

CMO: Ecuación de la Recta.

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Link al Diccio-Mates

Concepto: Ecuación de la Recta por Segmentos

Link: http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Ecuación%20Recta%20por%20Segmentos

Desafío - Función Cuadrática

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Cuadrática.

Desafío - Función Logarítmica

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Logarítmica.

Desafío - Función Raíz Cuadrada

Respuesta: Para que no se de una cantidad subradical negativa, el dominio de la variable "x" es

entre menos infinito y +2.

f(2) = 0

f(0) = Raíz Cuadrada (2) = 1,4142 ....

Tomamos en cuenta además, que se debe considerar -en este caso- la rama positiva de la función y recordando la Función Raíz Cuadrada, como a continuación:

Por todo lo anterior, la alternativa correcta es D)

Desafío - Función

Respuesta: Vamos revisando uno a uno los elementos propuestos en I), II) y III)

I)

f(o) = (1-0)/2 = 1/2

f(1) = (1-1)/2 = 0

Son distintos, por tanto I) es Falsa!

II)

f(-2) = (1-(-2))/2 = 3/2

f(0) = 1/2, ya lo vimso en I)

3f(0) = 3/2

So iguales, II) es Verdadera!

III)

f(3) = (1-3)/2 = -2/2 = -1

f(-1) = (1-(-1))/2 = 2/2 = 1

Son distintos, es falsa III)

Sólo II) es verdadera, Alternativa B)

Desafío - Angulos

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente: DEMRE

NEM: Primero Medio.

Eje Temática: III. Geometría.

CMO: Angulos en el Triángulo.

Desafío - Trigonometría

En una hoja cuadriculada como se muestra en la figura, se ha dibujado un triángulo ABC donde cada cuadrado tiene lado 1, entonces, sen(beta) es = ?

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: DEMRE.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Trigonometría. Razones Trigonométricas.

Desafío - Probabilidad

¿ Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultaneamente, 2 sean caras y 1 sea sello ?

A) 3/8

B) 1/8

C) 2/8

D) 1/3

E) 2/3

Respuesta:

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Probabilidad. Triángulo de Pascal.

Desafío - Probabilidades

Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que obtiene una suma par. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastián un 3 y Carlos un 6. ¿Cuál de las afirmaciones siguientes es verdadera?

A) Todos tienen la probabilidad 1/2 de ganar.

B) Todos tienen la probabilidad 1/3 de ganar.

C) El que tiene más probabilidades de ganar es carlos.

D) Carlos tiene más probabilidades de ganar que Alberto.

E) Bastián tiene menos probabilidades de ganar que Alberto y Carlos.

Respuesta: Veamos, para cada uno de ellos, las combinaciones que les hacen ganadores, tras sacar lo que han sacado en el primer intento:

Primer Intento Alberto: {2}, luego gana con {2,4,6} en el segundo intento.

3 de 6 posibilidades ....

Primer Intento Bastián: {3}, luego gana con {1,3,5} en el segundo intento.

3 de 6 posibilidades ....

Primer Intento Carlos: {6}, luego con {2,4,6} en el segundo intento.

3 de 6 posibilidades ....

Luego, la alternativa correcta es A), todos tienen probabilidad 1/2 de ganar.

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Probabilidad. Regla de Laplace.

Desafío - Ecuación Cuadrática

Respuesta: Para poder discriminar respecto de las raíces (ceros de la ecuación), debemos construir el discriminante. Para ello tomamos en cuenta que:

a= 1

b= -6

c= 8

Entonces I es verdadera, cuando el discriminante es positivo, las raíces son reales y distintas.

Resolvamos la ecuación, para ello podemos factorizar como:

(x-4)(x-2) = 0

Esto arroja dos raíces POSITIVAS (x1=4, x2=2), en que una es el doble de la otra, por lo tanto II) es verdadera y III) falsa.

Alternativa C)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación Cuadrática.

Desafío - Racionalización

Respuesta: Ojo que (Raíz de 3)(Raíz de 3) = (Raíz de 3) al cuadrado = 3

Nota: (Raíz de 18) se puede descomponer en Raíz del producto: (9 x 2)

Alternativa C)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Raíces. Racionalización.

Desafío - Raíces

Respuesta:

Alternativa E)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Raíces.

Desafío - Sistema de Ecuaciones

Dado el anterior sistema, el valor de Y es = ?

A) 0

B) 2b

C) 4b

D) 5a

E) 10a

Respuesta: Multiplicamos la segunda ecuación por (-1) para que se vayan las "x" y podamos despejar "y":

(1) x+y = 5a+2b

(2) -x+y = -5a + 2b

Sumando ambas ecuaciones

2y = 4b

y=2b

Alternativa B)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

Desafío - Función Inversa

¿Cuál de los siguientes puntos está más cerca de la curva que representa a la función inversa de la que se muestra en el gráfico?

A) (-4,1)

B) (2,4)

C) (-1,4)

D) (4,3)

E) (4,-3)

Respuesta: (Alternativa en los comentarios)

Grafiquemos la INVERSA, la exponencial y pongamos en el sistema de Coordenadas Cartesianas, los valores de cada uno de los puntos de las alternativas:

Alternativa A)

Fuente: Proyecto SER - Santillana.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Función Exponencial y Función Logarítmica (como inversas)

Desafío - Volumen

En el interior de un paralelepípedo recto de dimensiones 10 cm, 12,5 cm y 20 cm, ¿Cuántos cubos de 5 cm de arista caben?

A) 20

B) 16

C) 12

D) 8

E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

Alternativa B)

Fuente: Proyecto SER - Santillana.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Geometría del Espacio. Volumen.

Desafío - Probabilidad

Los resultados posibles del experimento aleatorio que consiste en lanzar al aire 3 monedas, se puede ver parcialmente en la tabla adjunta. ¿ Cuál de las alternativas siguientes muestra el(los) elemento(s) que falta(n) en la tabla, como resultados posibles de dicho experimento para completarla?

A) CSC

B) SSC

C) CSC y SSC

D) CSS y SSC

E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta: Faltan CSS y SSC, como se ve en el diagrama de árbol de a continuación, en donde se muestras los 8 (2 al cubo) resultados posibles:

Alternativa D)

Fuente: Proyecto SER - Santillana.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Espacio Muestral.

Desafío - Estadísticas

En 200 lanzamientos de un dado se obtuvieron las siguientes frecuencias para cada uno de los resultados posibles:

¿Cuál fue la frecuencia relativa del evento: "obtener un número menor que 4?

A) 106

B) 140

C) 0,7

D) 0,53

E) Ningún valor anterior.

Respuesta: En la tabla hay frecuencias absolutas y nos preguntan por una frecuencia relativa.

Las cantidades de veces que salieron números menores que "4" fueron: 40+36+30=106

La frecuencia relativa es: 106/200 = 0,53 Alternativa D)

Fuente: Proyecto SER - Santillana.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Estadísticas.

Desafío - Estadísticas

De acuerdo a la información de la tabla, que muestra las notas de un curso en la asignatura de ingles, es correcto afirmar que:

A) La moda es 5.

B) La mediana es 5.

C) El promedio y la mediana son iguales.

D) El promedio es mayor que la mediana.

E) El promedio es menor que la mediana.

Respuesta:

No hay moda. Quizás podríamos decir que la muestra es "cuatri-modal", pero eso no se usa.

Promedio = {(2)(5)+(3)(5)+(4)(5)+(5)(5)}/20 = 3,5

Mediana, para un conjunto par de datos = (3+4)/2 = 3,5

Alternativa C)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidades.

CMO: Estadígrafos.

Desafío - Estadísticas

La tabla muestra las notas obtenidas por un curso en una prueba de inglés. De acuardo a la información entregada, ¿Cuál es la nota promedio del curso?

A) 5,0

B) 4,5

C) 4,0

D) 3,5

E) 3,0

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Estadígrafos.

Desafío - Estadísticas

En la tabla arriba adjunta, se muestra la distribución de frecuencias para la variable x. Entonces, al sumar la media con la moda de la distribución se obtiene:

A) 3,1

B) 3,3

C) 5,12

D) 5,8

E) Ninguna Anteriores.

Respuesta:

Suma Frecuencias = 25

Suma de datos = (1)(1)+(2)(7)+(3)(4)+(4)(3)+(5)(5)+(6)(4)+(7)(1)= 95

Moda = 2, es el datos que más se repite: 7 veces!

Promedio = 95/25 = 3,8

Suma de Moda con Promedio =

=Moda + Promedio =

=2 + 3,8 = 5,8

Alternativa D)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Estadígrafos.

Desafío - Estadísticas

Los puntajes obtenidos por un curso electivo en un ensayo de PSU son los siguientes:

450 - 670 - 550 - 380 - 700 - 580 - 460 - 675

782 - 800 - 776 - 660 - 650 - 420 - 690

Entonces, la media aritmética del curso en este ensayo es:

A) 600,0

B) 612,8

C) 615,8

D) 616,2

E) 622,8

Respuesta: Si los contamos, hay 15 datos. La Suma de todos los datos es = 9243.

Promedio = 9243/15 = 616,2

Fuente: Recopilación A. Sámchez.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

CMO: Estadígrafos.

Desafío - Ecuación Exponencial

La PRE-imagen negativa de 17/4 en la ecuación anterior es:

A) -4

B) -1/4

C) -1/2

D) -2

E) -1/8

Respuesta:

Fuente: Mare Nostrum - P.Valdivia.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuaciones Exponenciales.

Desafío - Función Exponencial

Si

Entonces, f(-1) + f(0) =

A) 3

B) 2

C) 1

D) -2

E) -3

Respuesta:

Fuente: Mare Nostrum - P.Valdivia.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Funciones Exponenciales.

Desafío - Logaritmos

¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?

I) log 0,75 = log 3 - log 4

II) log 0,8 = log 2 - log 5

III) log 0,47 = log 47 - 2

A) Sólo I

B) Sólo III

C) Sólo I y II

D) Sólo I y III

E) Todas

Respuesta:

Fuente: Mare Nostrum - P.Valdivia.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Logaritmos.

Desafío - Ecuación

Si la anterior relación es dada, entonces el valor de n es?

A) 2/15

B) 1/15

C) 1/5

D) 1/3

E) 3/5

Respuesta:

Fuente: Mare Nostrum - P-Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuaciones Exponenciales.

Desafío - Potencias

Respuesta:

Alternativa D)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: Álgebra y Funciones.

CMO: Potencias.

Desafío - Probabilidad

En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los 4 sectores y ella NUNCA cae en los límites de dichos sectores.

¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones es(son) verdadera(s)?

I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es de 1/2.

II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de 1/4.

III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 o en el número 3 es de 2/3.

A) Sólo I.

B) Sólo II.

C) Sólo III.

D) Sólo I y II.

E) I, II, III.

Respuesta:

Hay 2 de 4 posibilidades de que caiga en el número 1. I) es verdadera: 2/4 = 1/2

Hay 1 de 4 posibilidades de que caiga en el número 2. II) es verdadera: 1/4

Hay 2 de 4 posibilidades de que caiga en el número 2 ó 3. III) es falsa!

Sólo I y II son verdaderas. D) es la correcta!

Fuente: DEMRE.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadísticas.

Desafío - Suficiencia de Información

Se puede determinar el valor de (2a-b)/b si:

(1) a:b = 5:2

(2) a+b = 21

A) (1) por si sola.

B) (2) por si sola.

C) Cada una por si sola, (1) ó (2)

D) Ambas juntas, (1) y (2)

E) Se requiere información adicional.

Respuesta:

Si trabajamos la expresión: (2a+b)/b = 2(a/b) - 1, vemos que con sólo el valor de a/b=5/2

estamos OK.

Alternativa A)

Fuente: Recopilación A. Sánchez.

NEM: Primero Medio.

Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad. 2. Proporcionalidad.

CMO: Razones y Proporciones.