Desafío - Euclides

El triángulo ABC de la figura está inscrito en la semicircunferencia de centro O. D es el pie de la altura trazada desde C. Si AD = 1 cm y AB = 11 cm, entonces Trazo CD mide=?

Respuesta: Utilizaremos el Teorema de Euclides, mas abajo Linkeado:

Alternativa D)

Fuente: PCE - P.Valdivia.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: teorema de Euclides.

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Link al Diccio-Mates:

Concepto: Teorema de Euclides:

Link: http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Teoremas%20de%20Euclides

Desafío - Teorema de Thales

¿ Cuánto mide el lado x del cuadrado menor de la figura ?

A) 3,0

B) 3,5

C) 4,0

D) 4,5

E) 5,0

Respuesta: Alternativa C), pero veamos por qué?

Fuente: PCE - P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Teorema de Thales.

Desafío - Semejanza

Dados los triángulos ABC y DEF, ¿Cuál es el perímetro del triángulo DEF?

A) 7,5

B) 9

C) 16,5

D) 11

E) NO se puede determinar.

Respuesta: Los dos triángulos son semejantes por la siguiente razón:

del Link de más abajo: "dos triángulos son semejantes si dos lados de un triángulo son proporcionales a los lados homólogos del otro triángulo y el ángulo comprendido entre los dos lados es congruente al ángulo homólogo del otro triángulo"

Luego hay varias alternativas para encontrar el lado (trazo) DF desconocido, por ejemplo:

4/5 = 6/DF ------- DF = 7,5

Luego el perímetro del triángulo mayor es: 6+3+7,5 = 16,5 Alternativa C)

Fuente: PCE - Pedro de Valdivia
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: a. Semejanza.

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Link al Diccio-Mates:

Concepto: Criterios Semejanza Triángulos:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Semejanza

Desafío - Problema Tipo Planteo

La suma de dos cifras de un número es 8 y, si se cambia el orden de sus cifras, se obtiene otro número que vale 17 unidades menos que el doble del número de partida. ¿Cuál es el número original?

A) 71

B) 62

C) 53

D) 35

E) 44)

Respuesta: Tomaremos una convención:

X será la cifra de las decenas.

Y será la cifra de las unidades.

Entonces el número es: 10X+Y

Tenemos acorde al enunciado:

(1) X + Y = 8

(la suma de las cifras es 8)

(2) 10Y + X = 2(10X+Y) - 17

(si se cambia el orden de las cifras, se obtiene otro número que vale 17 unidades menos que el doble del número de partida)

Las ecuaciones se trabajan para dar:

(1) X + Y = 8 (Esta la multiplicamos por 8 y la sumamos a la segunda, Método REDUCCION)

(2') 19X - 8Y = 17

27=81 ..... X=3 luego

Y = 5 ; X = 3; El número original es 35, Alternativa D)

Fuente: Manual Matemáticas - Pontificia Universidad Católica.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Sistemas de Ecuaciones.

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Link al Diccio-Mates:

Concepto: Método de Reducción:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Método%20de%20Reducción

Desafío - Ecuación de la recta

La ecuación de la recta de la figura es:

Respuesta: Usando la ecuación de la recta POR SEGMENTOS (ver el link) tenemos que determinar los segmentos que determina sobre los ejes OX y OY.

En OX el segmento es: 2

En OY el segmento es: 2

Luego la ecuación es: x/2 + y/2 = 1

Multiplicando por 2

x + y = 2, alternativa B)

Fuente: Manual Matemáticas - U. Católica.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Ecuación de la Recta.

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Link al Diccio-Mates:

Concepto: Ecuación de la Recta por Segmentos:

http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Ecuación%20por%20Segmentos

Desafío - Parábola

La parábola de la anterior figura podría corresponder al gráfico de:

Respuesta: Vamos a ir revisando cada una de las alternativas, contrastando con los datos que se observan en el grafo ....

Datos del GRAFO (Este grafo nos dice TANTAS cosas):

1) Concavidad: Las ramas se abren hacia abajo. Eso nos dice que "a" es negativo.

2) Las dos raíces son negativas, x1 y x2 son negativas.

3) Así a simple OJO, el vértice está en el par ordenado (-2,3) aproximadamente!

4) Y-Intercepto (donde corta el eje Y) = (0,-1).

Miremos ahora la alternativa A) desarrollemos la expresión!

a= -1, la concavidad es correcta!

c=-1, el Y-Intercepto es correcto!

veamos el vértice: Abcisa del vértice: -b/2a = -(-4)/((2)(-1)) 0 4/-2=-2

f(-2) = -(4) -4(-2)-1 = -4+8-1=3

Coordenadas del vértice: (-2,3), También están correctas!

ALTERNATIVA A) es Correcta ! (Entonces No seguimos revisando)

Fuente: Manual Matemáticas - Pontificia Universidad Católica

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones. 2. Funciones.

CMO: a. Función Cuadrática.

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Link al Diccio-Mates:

Concepto: Función Cuadrática.

Link: http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Funci%C3%B3n%20Cuadr%C3%A1tica

Desafío - Probabilidades

De la caja de la figura, se saca una bola al azar. Para que la probabilidad de "sacar una bola negra" sea 2/3, en la caja habría que:

A) Quitar 1 bola negra.

B) Agregar 2 bolas negras.

C) Quitar 2 bolas negras.

D) Agregar 5 bolas blancas.

E) Agregar 3 bolas blancas.

Respuesta: Revisemos caso a caso, según nos vayan exigiendo cada una de las alternativas:

ALTERNATIVA B)

Fuente: Manual Preparación Matemáticas.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Regla de Laplace.

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Link al Diccio-Mates:

Concepto: Regla de Laplace:

Link: http://diccio-mates.blogspot.com/search/label/Regla%20de%20Laplace

Desafío - Logaritmos

Si ab=1, entonces, ¿Cuánto vale la siguiente expresión?

A) 2

B) 0,5

C) -0,5

D) a elevado a -2

E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta: Veamos por qué yo digo que es la alternativa C)

Fuente: PCE - Editorial Universitaria.

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Logaritmos.

Desafío - Estadígrafos

La diferencia positiva entre la media aritmética y la mediana de los números: 27, 27, 29, 32 y 35 es:

A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 8

Respuesta:

La mediana: 27 - 27 - 29 - 32 - 35

Promedio = (27+27+29+32+35)/5 = 30

La diferencia positiva es: 30 - 29 = 1 - Alternativa A)

Fuente: PSU - Mates - PreU. P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadísticas y Probabilidades.
CMO: Estadísticas. Estadígrafos.

Desafío - Probabilidades

Al lanzarse tres monedas,
¿ Cuál es la probabilidad de obtener 3 sellos ?

A) 25 %
B) 12,5 %
C) 20 %
D) 33,33333 .... %
E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

Al lanzar 3 monedas se pueden obtener los siguientes resultados:

CCC - CCS - CSC - SCC - CSS - SCS - SSC - SSS

Un resultado favorable de 8 posibles,
Probailidad Pedida = 1/8 = 0.125 = 12,5 % - Alternativa B)

Fuente: PSU - Mates - PreU. P.Valdivia.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Regla de Laplace.

Desafío - Ángulos en la Circunferencia

En la figura PB y PC son tangentes a la circunferencia de centro O. ¿ Cuál de las siguientes es una relación entre alfa y beta ?

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: PSU - Mates - PreU.P.Valdivia.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Ángulos en la Circunferencia.

Desafío - Eje de Simetría de Parábola

¿ Cuál de las siguientes ecuaciones corresponde al eje de simetría de la anterior parábola ?

A) y = 4

B) x = 2

C) x = -2

D) y = -2

E) x = 4

Respuesta: La ecuación del vértice de una oarábola es:

x = -b/(2a)

en este caso b= -4 ; a=1

entonces:

x = -(-4)/(2x1) = 4/2 = 2 ; Alternativa B)

Fuente: PSU - Mates - PreU.P.Valdivia.

NEM: Tercero Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: a. Función Cuadrática.

Desafío - Porcentaje

¿ Cuál de las siguientes expresiones es equivalente al 70 % de P ?

A) 70 P
B) 7 P
C) 7P/10
D) 7p/100
E) 7P/1000

Respuesta: 70 % de P = (70/100)P = 7P/10; Alternativa C)

ó equivalentemente:

70 % de P = 0,7 P = 7P/10

Fuente: PSU Mates - PreU.P.Valdivia.
NEM : Primero Medio.
Eje Temático: I. Números y Proporcionalidad.
CMO: Variaciones Proporcionales.

Más de 800 ejercicios resueltos ....

Primero Medio = 211 Ejercicios!

Segundo Medio = 200 Ejercicios!

Tercero Medio = 200 Ejercicios!

Cuarto Medio = 200 Ejercicios!

Más de 800 ejercicios resueltos ....

Primero Medio = 211 Ejercicios!

Segundo Medio = 200 Ejercicios!

Tercero Medio = 200 Ejercicios!

Cuarto Medio = 200 Ejercicios!

Desafío - Función Exponencial

Si f(x) está definida como se muestra anteriormente, entonces: f(-1) + f(0) = ?

A) 3

B) 2

C) 1

D) -2

E) -3

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: PSU Matemáticas - 4to. Medio - MN/P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Función Exponencial.

Desafío - Gráfico Circular

El gráfico circular muestra la situación final de 180 alumnos, en las asignaturas de Matemáticas y lenguaje de un cierto colegio.



¿Cuántos alumnos aprobaron Lenguaje y Matemática en ese colegio?


A) 80
B) 90
C) 100
D) 110
E) 120


Respuesta: Los educandos (es mejor que decir alumnos: los sin luz) que aprueban son (120º + 80º=200º) de un total de 360º, esa es su proporción:

(200/360) x 180 = 100, Alternativa C)

Fuente: PSU Matemáticas - 4to. Medio - MN/P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Interpretación de Grafo

Desafío - Mediana y Moda

En el siguiente conjunto de datos:

17, 21, 20, 17, 18, 20, 21, 21, 24

¿ Cuál es la mediana y la moda respectivamente ?

A) 21 y 21
B) 20 y 21
C) 20,5 y 21
D) 21 y 20
E) 21 y 20,5

Respuesta: Hay que ordenar la muestra: 17, 17, 18, 20, 20, 21, 21, 21, 24

La Mediana (la que deja igual cantidad de datos a cada lado) es 20. La Moda, la que más se repite, es 21. Mediana 20 y Moda 21. Alternativa B)

Fuente: PSU Matemáticas - 4to. Medio - MN/P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Estadística, Medidas de Tendencia Central

Desafío - Logaritmos

A) -1/2

B) -1

C) -3/2

D) 1/2

E) 3/2

Respuesta: Primero hay que tener OJO:

1,5 = 3/2

0,4444444 ..... = 4/9 = (2/3)(2/3), entonces:

Alternativa B)

Fuente: PSU Matemáticas - 4to. Medio - MN/P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Logaritmos

Desafío - Interés Compuesto

Se invierte cierto capital bajo régimen de Interés Compuesto anual. Si al cabo de 2 años tal capital se cuadruplicó, entonces, ¿Cuál fue la tasa de interés aplicada ?

A) 0,1 %
B) 1 %
C) 10 %
D) 100 %
E) 110 %

Respuesta: Si el capital es C, al cabo de 2 años es 4C .... Usemos la fórmula de Interés Compuesto, con t=tasa=? ; n=2 (períodos):

Alternativa D)

Fuente: PSU Matemáticas - 4to. Medio - MN/P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Interés Compuesto.

Desafío - Interés Simple

¿ A qué tasa de interés mensual, un capital de $ 6.000.000 produce en 18 meses una ganancia de 1.080.000, bajo un régimen de interés simple ?

A) 12 %
B) 11 %
C) 10 %
D) 1 %
E) 0,o1 %

Respuesta: Se parte con 6.000.000 y se llega a: (6.000.000 + 1.080.000) = 7.080.000. La tasa es desconocida: t ; El período es de 18 meses. La Fórmula de inter´res simple es:

7.080.000 = 6.000.000(1+ 18t)

7.080.000/6.000.000=1.18=1+18t
1.18=1+18t
0,18=18t
t=0,01 = 1% Alternativa D)

Fuente: PSU Matemáticas - 4to. Medio - MN/P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático:
CMO:

Desafío - Logaritmos

A) 2

B) -2

C) 7

D) 1/2

E) -1/2

Respuesta: Alternativa D), veamos!

Fuente: PSU Matemáticas - 4to. Medio - MN/P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Logaritmos

Desafío - Logaritmos

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) 5

Respuesta:

Alternativa B)

Otro Camino, Tomando raíz cúbica a la expresión original y luego aplicando log en base 2:

Fuente: PSU Matemáticas - 4to. Medio - MN/P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Logaritmos.

Desafío - Medidas de Tendencia Central

Si la media aritmética, la moda y la mediana de 3 números es 3, entonces la suma de estos tres números es:

A) 3
B) 6
C) 9
D) 12
E) No se puede determinar.

Respuesta: Llamemos x1, x2 y x3 a los tres números.

Sabemos que: (x1 + x2 + x3)/3 = 3, de donde (x1+x2+x3) = 9; Alternativa C)

Nota: tiene información redundante! Uno podría con dicha información deducir más:

Si son tres datos (cantidad impar de datos) y la mediana es 3, entonces x2=3, pero como la moda es 3, debe haber al menos otro igual a 3, que puede ser x1 o x3 .... si elijo x1=3 (da lo mismo si hubiese sido x3), entonces x3 = x1 = 3, porque el promedio es 3 .... entonces cada uno de los tres datos es 3: x1=x2=x3=3

Fuente: PSU Matemáticas - 4to. Medio - MN/P.Valdivia.
NEM: Cuarto Medio.
Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.
CMO: Estadísticas, Estadígrafos, Medidas de Tendencia Central.

Desafío - Evalaución de Funciones

Si las funciones son como antes se definen, entonces, calcular: f(-2)/g(-2)

A) 16

B) 1

C) -1

D) -1/16

E) 1/16

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: PSU - Mates - 2do.Medio - MN/P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Funciones.

Desafío - Funciones

Si la función se define como antes y además f(-1) = 4, entonces el valor de "a" es: ?

A) -1

B) 1

C) 3

D) 5

E) 5/3

Respuesta: Sustituyendo f(-1) = 4, en la función:

Alternativa B)

Fuente: PSU - Mates - 2do.Medio - MN/P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Funciones.

Desafío - Potencias

¿ Cuál de las siguientes expresiones es equivalente a la anterior ?

Respuesta:

Alternativa B)

Fuente: PSU - Mates - 2do. Medio - MN/P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO:Potencias con exponente entero.

Desafío - Funciones

La recta L de la ecuación x + py = 0 es paralela al eje de las ordenadas, si:

(1) p es un número real distinto de cero.
(2) L es perpendicular al eje de las abcisas.

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.

Respuesta:

Fuente: PSU - Mates - 2do. Medio - MN/P.Valdivia
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Funciones.

Desafío - Funciones

La Función f(x) es lineal si:

(1) f(x) = 2x - 1
(2) f(-1) = -3

A) (1) por sí sola.
B) (2) por sí sola.
C) Ambas juntas, (1) y (2).
D) Cada una por sí sola, (1) ó (2).
E) Se requiere información adicional.

Respuesta: El libro entrega como resultado la alternativa A) .... Yo tengo una pequeña discrepancia!

En este caso linealidad está planteada en torno a la potencia de la variable (x). Como la potencia de la variable es uno, la función en (1) es lineal. Alternativa A) !

En Realidad las funciones lineales son de la forma y = mx, con m una constante.

Funciones de la forma y = mx + n, con funciones llamadas AFINES.

Fuente: PSU - Mates - 2do. Medio - MN/P.Valdivia
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Funciones.

Desafío - Ángulos en la Circunferencia

Trazo BC es diámtero de la circunferencia de centro O.

¿ Cuánto mide el ángulo OAC ?

A) 45º - a

B) 90º - a

C) 90º - 2a

D) 180º - a

E) 180º - 2a

Respuesta: El triángulo OAC es ISOSCELES, por estar formado por 2 radios. Luego, los ángulos basales, uno de los cuales es el pedido, debe medir la mitad del suplemento de "4a"

Medida del ángulo OAC = (1/2)(180 - 4a) = 90 - 2a; Alternativa B)

Fuente: PSU Mates - 2do. Medio - MN/P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Angulos en la Circunferencia.