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martes, 9 de febrero de 2010

Desafío - PrObAbIlIdAd

Cuando se lanza un dado no cargado, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par o múltiplo de 3?

A) 1/2
B) 1/3
C) 2/3
D) 1/6
E) 5/6

Respuesta: Los conjuntos que representan a los sucesos

A: Que salga un número par.

B: Que salga un número múltiplo de 3.

P(obtener par o múltiplo de 3) = P(A) + P(B) - P(A inter B)

P(obtener par o múltiplo de 3) = 3/6 + 2/6 - 1/6 = 4/6 = 2/3

Altervativa C)

Fuente: PSU-2do.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Probabilidad

Desafío - Regla de Laplace

Si se lanza un dado 2 veces, ¿Cuál es la probabilidad de que los números obtenidos sean iguales?

A) 1/2

B) 1/3

C) 1/4

D) 1/6

E) 1/8

Respuesta:

Formemos todos los pares ordenados de las posibles combinaciones de resultados:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Hay 6 de 36 resultados en que ambos números son iguales: (1,1); (2,2); (3,3); (4,4); (5,5); (6,6)

Probabilidad Pedida = 6 / 36 = 1/6

Fuente: PSU-2do.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.

CMO: Probabilidad, Regla de Laplace

Desafío -

Si se lanza un dados dos veces, ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos números distintos ?

A) 1/6

B) 1/2

C) 1/4

D) 1/3

E) 5/6

Respuesta: Formemos todos los pares ordenados de las posibles combinaciones de resultados:

(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,6)

(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,6)

(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)

(6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)

Los pares ordenados que tienen dos resulatdos distintos son 30 de 36

Probabilidad = 30/36 = 5/6 Alternativa E)

Fuente: PSU-2do.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.

CMO: Proababilidad. Regla de Laplace.

Desafío -

El arco AB es una semicircunferencia y ángulo beta mide 30º. ¿ En qué razón están las medidas de los ángulos alfa y gama ?

A) 1:1

B) 1:2

C) 1:3

D) 2:3

E) 4:5

Respuesta: Recordamos que un ángulo inscrito en una circunferencia mide 90º, por tanto gama mide 90º. Como beta mide 30º, entonces alfa mide su complemento: 60º

alfa/gama = 60/90 = 2/3, Alternativa D)

Fuente: PSU-2do.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Ángulos en Circunferencia.

lunes, 8 de febrero de 2010

Desafío - Método de Completación de Cuadrado

Para resolver la enaterior ecuación, con el procedimiento de completar un cuadrado perfecto, se suma y se resta un mismo número en el primer miembro. ¿Cuál es ese número ?

A) 1

B) 2

C) 3

D) 4

E) Ninguno de los anteriores.

Respuesta: Lo que hay que sunar y restar es +4, veamos:

Alternativa D)

Fuente: Proyecto SER - Santillana.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuación Cuadrática.

Desafío - Coseno de un ángulo

En el anterior triángulo ABC, rectángulo en C, el valor de 1 + coseno de alfa es: ?

A) 25/26

B) 25/13

C) 18/13

D) 17/12

E) 17/13

Respuesta: Entonces hay un ángulo recto en vértice "C". (Pues el ángulo recto, en un triángulo rectángulo, se opone al mayor lado).

Coseno (alfa) = cateto adyacente/hipotenusa = 24/26

1 + Coseno (alfa) = 1 + 24/26 = (26+24)/26 = 50/26 = 25/13, Alternativa B)

Fuente: Proyecto SER - Santillana
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: II. Geometría.
CMO: Funciones Trigonométricas

Desafío - Intervalos

Las soluciones de cierta inecuación stisfacen la anterior condición.

Usando el lenguaje de intervalos, esto se puede expresar así:

Respuesta:

El intervalo es cerrado por izquierda, eso quiere decir que incluye el menos 8.
El intervalo es abierto por derecha, eso quiere decir que NO incluye al 5 positivo.

Quien representa esto es:

Fuente: Proyecto SER - Santillana.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Inecuaciones, Intervalos.

Desafío - Raíces

¿ Por qué hay que multiplicar la anterior expresión para obtener 6?

Respuesta: Transformando la pregunta en ecuación, y luego racionalizando, en la pizarra verde:

Alternativa E)

Fuente: Proyecto SER - Santillana
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Raíces, Racionalización.

Desafío - Sucesión de Raíces ....

En la sucesion anterior aparecen los 4 primero términos. ¿ Cuál es el término que ocupa el lugar séptimo?

Respuesta: Fíjese que la regla de formación nos dice que al interior de la raíz siempre hay un 2 y luego se suma 3 al segundo número, al pasar de una raíz a la siguiente ....

Entonces, los términos que vienen son:

El término séptimo es raíz de 20, eso es equivalente a raíz de 5 x 4, lo que da la alternativa C)

Raíz de 20 = raiz de (5x4) = (raíz de 5)(raíz de 4) = (raíz de 5)x2 = 2 (raíz de 5)

Fuente: Proyecto SER - Santillana.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Raíces

Desafío -

En el anterior sistema, el valor de y es:

A) 7/3

B) -7/3

C) 3

D) -3

E) -7

Respuesta:

Mantengamos la primera ecuación:

(1) 2x + y = 1

Multipliquemos por (-1) la segunda:

(2) -2x + 2y = 8

Sumemos ambas ecuaciones:

(1) + (2) : 3y = 9

Luego despejando: y = 9/3 = 3 ; Alternativa C)

Fuente: Proyecto SER - Santillana
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Sistema de Ecuaciones.

Desafío - Fracciones Algebraicas

Si las dos expresiones anteriores se suma, se obtiene:

Respuesta:

Alternativa B)

Fuente: PSU-2do.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Fracciones Algebraicas

Desafío - Fracciones Algebraicas

Para qué valor(es) de x, la anterior expresión queda indeterminada:

A) 2

B) 3

C) 0

D) -3

E) -4

Respuesta: El denomibador se puede descomponer como (x-4)(x+3) y el primer factor (x-4) se puede cancelar con el del numerador, por lo que la fracción se indeternina cuando x vale -3

Alternativa D)

Fuente: PSU-2do.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Fracciones Algebraicas.

Desafío - Media Aritmética

¿ Cuál es la media aritmética entre A, B y C ?

A) 0,030

B) 0,037

C) 0,050

D) 0,057

E) 0,075

Respuesta: A = 0,1 ; B= 0,01 ; C=0,001

Promedio = (0,1 + 0,01 + 0,001)/3 = 0,111/3 = 0,037

Alternativa B)

Fuente: PSU-4to.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.

CMO: Estadígrafos, Estadísticas.

Desafío - Mediana

Con la notas de una prueba de Ciencias Naturales de un curso de 20 alumnos, se construye la tabla de frecuencias de la figura.

¿ Cuál es la mediana ?

A) 4,0

B) 4,2

C) 4,5

D) 5,0

E) 6,0

Respuesta: Los datos en total son: 3+5+2+6+3+1=20, es decir son un número PAR de datos .... La mediana va a corresponder a un promedio entre los dos datos centrales:

2-2-2-3-3-3-3-3-4-4-5-5-5-5-5-5-6-6-6-7

Mediana= (4+5)/2 = 4,5, Alternativa C)

Fuente: PSU-4to.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: III. Estadística y Probabilidades.

CMO: Estadísticas.

Desafío - Promedio

¿ Cuál es el promedio de los n primeros números naturales ?

Respuesta: La suma de los n primeros números naturales es n(n+1)/2. Para obtener el promedio es necesario dividir por n o multiplicar por (1/n):

(1/n) x n(n+1)/2 = (n+1)/2 Alternativa C)

Fuente: PSU-4to.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.

CMO: Estadística

Desafío -

El promedio de 40 números es 30. Si se retiran 4 de ellos, cuyo promedio es 0,75, entonces ¿Cuál es el promedio de los números que quedaron?

A) 29,25

B) 30

C) 33,0

D) 33,25

E) 34

Respuesta:

Fuente: PSU-4to.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: III. Estadística y Probabilidad.

CMO: Estadígrafos.

Desafío -

¿ A qué figura en el espacio tridimensional corresponde el anterior conjunto ?

A) Un cono.

B) Un cono truncado.

C) Una esfera.

D) Un cilindro.

E) Un plano.

Respuesta: Corresponde a una esfera. Es una esfera de radio uno, centrada en el origen del sistema de coordenadas cartesianas.

Fuente: PSU-4to.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Geometría del Espacio.

Desafío -

Respuesta:

Si trasladamos el trazo PQ, es posible visualizar mejor:

Forman un ángulo de 45º, Alternativa C)

Fuente: PSU-4to.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Geometría del Espacio.

Desafío - Intersección de planos

Al intersectar dos planos no paralelos se obtiene:

a) Un plano.

b) Una recta.

c) Un punto.

d) Dos rectas.

e) El conjunto vacío.

Respuesta: Se obtiene una recta: Alternativa B)

Fuente: PSU-4to.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Geometría del Espacio.

Desafío -

Un paralelepípedo recto tiene base cuadrada de lado 4 cm y altura 6 cm. ¿ Cuál es su área total ?

A) 144 centímetros cuadrados.

B) 128 centímetros cuadrados.

C) 96 centímetros cuadrados.

D) 48 centímetros cuadrados.

E) 32 centñimetros cuadrados.

Respuesta:

Area Total = Area de las bases + Area caras laterales:

Area Total = 2 x (4x4) + 4 x (6x4) = 128; Alternativa B)

Fuente: PSU-4to.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: II. Geometría.

CMO: Geometría Espacial

Desafío - Logaritmos

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: PSU-4to.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Logaritmos

Desafío - Logaritmos

Si sucede lo anterior, entonces el valor de x es: ?

Respuesta:

Alternativa E)

Fuente: PSU-4to.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Logaritmos

Desafío - Logaritmos

A) 0,8

B) 1,2

C) 2,0

D) 2,5

E) 5,0

Respuesta:

Fuente: PSU-4to.Medio- MN/P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Logaritmos

Desafío - Logaritmos

Si Log(y) = -4, entonces log(1000y)=?

A) -1

B) -12

C) 996

D) -1400

E) 10 elevado a -4

Respuesta:

Alternativa A)

Fuente: PSU Matemáticas-Cuarto Medio - MN/P.Valdivia

NEM: Cuarto Medio.

Eje Temático:

CMO:

miércoles, 3 de febrero de 2010

Desafío - Probabilidad de la Intersección de dos sucesos excluyentes

¿ Cuál es la probabilidad al escoger un número de 2 cifras que éste sea primo y que termine en 2 ?

A) No se puede obtener.
B) Vacío.
C) Cero
D) 1
E) Ninguna de las anteriores

Respuesta:

Si llamamos

A: Suceso ser Primo de 2 cifras.
B: Suceso ser terminar en 2, teniendo 2 cifras.

(A Interectado con B) es: Vacío

Los dos sucesos son excluyentes, su intersección es un suceso IMPOSIBLE!

P(A Intersectado con B) = 0

Alternativa C)

Fuente: PCE - P. Universitario Pedro de Valdivia.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Probabilidad de una intersección.

Desafío - Probabilidad de la Unión de 2 sucesos

Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número 3 o un número primo?

A) 1/6
B) 1/2
C) 1/6 + 1/2
D) 1/6 + 1/2 + 1/6
E) Ninguna de las anteriores.

Respuesta:

En este caso la probabilidad de que ocurran los dos sucesos son NO mutuamente Excluyentes, entonces si llamamos:

A: Suceso que Salga un número 3 .... (Caso: 3) P(A) = 1/6
B: Suceso que Salga un número Primo (Casos: 2,3,5) .... P(B) = 3/6 = 1/2
A Intersectado con B (Caso: 3) .... P(A intersectado con B) = 1/6

P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A intersectado B) = 1/6 + 1/2 - 1/6 = 1/2

Alternativa B)

Fuente: PCE Pre Universitario Pedro de Valdivia.
NEM: Tercero Medio.
Eje Temático: III. Probabilidad y Estadística.
CMO: Probabilidad de la suma.

Desafío - Potencias

Si "a" es distinto de cero y n es un nñumero impar, entonces la anterior expresión es equivalente a:

Respuesta:

Primero: Si el exponente n es impar, y la base del numerador está afectada de un signo negativo, aparecerá el factor (-1) ....

Alternativa E)

Fuente: PCE P. Universitario P. de Valdivia.

NEM: Segundo Medio.

Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.

CMO: Potencias de Exponente Entero.

Desafío - Geometría Analítica

¿El área del triángulo formado por los ejes coordenados y la ecuación de la recta 2x + 4y = 8 es?

A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8

Respuesta:

La recta corta a los ejes coordenados en:

x=0 implica: 2(0) + 4y = 8, entonces y=2 ........ Punto (0,2)
y=0 implica 2x + 4(0) = 8, entonces x= 4 ....... Punto (4,0). Esto se ve en la siguiente figura:

Luego el área será la de un triángulo rectángulo: (4 x 2)/2 = 4; Alternativa A)

Fuente: PCE - PreU. Pedro Valdivia.
NEM: Segunco Medio.
Eje Temático: I. Álgebra y Funciones.
CMO: Ecuación de la Recta