Desafío - Relaciones y Funciones (Problema Resuelto)

¿Cuál(es) de las siguientes es(son) siempre verdadera(s)?

I) Una relación es un subconjunto del producto cartesiano.
II) El producto cartesiano es conmutativo.
III) Toda relación es función.

A) Sólo I.
B) Sólo II.
C) Sólo III.
D) Sólo I y II.
E) I, II, III.

Respuesta:

Veamos cada una de las aseveraciones:

I) VERDADERA. Incluso así se define una relación, como subconjunto del producto cartesiano entre el dominio y codominio, los conjuntos de partida y llegada.

II) FALSA; veamos un ejemplo: A={1,2} ; B={a,b,c}

A X B = { (1,a) ; (1,b) ; (1,c) ; (2,a) ; (2,b) ; (2,c) }
B X A = { (a,1) ; (a,2) ; (b,1) ; (b,2) ; (c,1) ; (c,2) }

SON evidentemente dos conjuntos diferentes.

III) FALSA. Lo que si es verdadero es lo contrario: "TODA FUNCIóN es Relación".

Veamos que es FALSO:
Para los conjuntos A y B definidos en II), el conjunto { (1,a) ; (1,b) ; (1,c) } es Relación, pero NO función por dos elementos: 

Primero: La pre-imagen 1 tiene 3 imágenes (eso es prohibido para ser función, sólo puede tener una).

Segundo: Las pre-imágenes b y c NO tienen imagen (eso es prohibido para ser función, deben tener una imagen)

Alternativa A)

Fuente: CEPECH Materiales.
NEM: Segundo Medio.
Eje Temático: II. Álgebra.
CMO: Funciones.